【算法原理】线性回归算法原理

假设小明是银行的一名客户研究员，他想利用银行客户的年龄（X1）与工资（X2）建立一个预测模型，预测不同客户存款数额（Y）的大小。
目前他手头已经有银行客户的历史数据表：X1列记录客户年龄、X2列记录客户工资、Y列记录客户存款数额。

最开始，他建立了最简单的预测方程：
（小明知道不同变量所占的权重是不一样的，方程中变量前的参数就代表权重）

然后，他用手头的数据去训练该方程，发现该方程并不是能够拟合最多样本点的方程，于是他需要对方程进行上下微调，让方程线尽量通过更多的样本点：
（多加的截距项就是起到微调的作用，但重点还是在变量参数上）

但是，他发现不管怎么微调方程，总有些样本点的预测值与真实值Y存在差异，所以需要在方程中体现出该差异才科学：
（预测方程中加入了误差项，真实值=预测值+误差）

因为银行的数据都是数据表，相当于数学中的矩阵，为了方便计算，小明又在数据表中加入了一列值全部为1的X0列，相应的，方程规范为：
（这样方程就可以方便的放入矩阵计算了）

现在，较为标准科学的预测方程建好了，现在最关键的就是搞清X1，X2是如何影响Y的？影响程度如何？也就是要求变量的参数（正负和大小）
那该如何求变量的参数呢？

小明通过查资料发现，误差项可以作为突破点：
对于误差项的假设是：

1. 独立：每个人来银行存款都是互不影响的，一个人不会因为他前面的人存款多，他就想着存少一点。
2. 同分布：小明进行客户调研肯定是以自己银行的客户为样本，样本中不会有其他银行的客户信息。
3. 服从均值是0，方差为西格玛方的高斯分布（正态分布）：日常生活都是平衡稳定的。
   既然误差项服从上述正态分布，那么它的概率密度函数就是1式：
   
   又因为误差项可以表示为2式：
   
   所以将2式带入1式，等到关于Y、X、和参数的方程：
   

小明只要通过上式求出参数就好了，可是该如何求呢？
小明知道研究客户不能只研究一个，而是要研究许多的客户，每个客户都有其边缘概率密度函数。
又因为误差项是独立同分布的，所以联合概率密度函数=边缘概率密度函数之积。
这样，就自然而然地构造出了极大似然函数

极大似然函数可以理解为：求解当参数为多少时，预测值接近真实值的概率最大
对极大似然函数去ln对数化简，得到：

要求最大概率，需要对下式求最小值，使用的就是最小二乘法：

通过最小二乘法的计算（计算交给电脑就好），小明终于求出了各个参数，完成了预测方程（线性回归方程）的建立。