数据结构与算法之美笔记 : 二分法查找 「 一 」

 

我们假设只有 10 个订单，订单金额分别是：8，11，19，23，27，33，45，55，67，98。

还是利用二分思想，每次都与区间的中间数据比对大小，缩小查找区间的范围。为了更加直观，我画了一张查找过程的图。其中，low 和 high 表示待查找区间的下标，mid 表示待查找区间的中间元素下标。

 

 

 

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。

每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，

直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

 

 

可以看出来，这是一个等比数列。其中 n/2k=1 时，k 的值就是总共缩小的次数。

而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，

时间复杂度就是 O(k)。

通过 n/2k=1，我们可以求得 k=log2n，所以时间复杂度就是 O(logn)。

 

 O(logn) 这种对数时间复杂度。这是一种极其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。

 

因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。

 

因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。

比如 n 等于 2 的 32 次方，这个数很大了吧？大约是 42 亿。

也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。

10 亿的话,大概是 30 次.   除以 2, 十几次左右吧.

 

 

二分查找的递归与非递归实现

 

最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，我们在其中用二分查找值等于给定值的数据。

我用 Java 代码实现了一个最简单的二分查找算法。

 

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;

  while (low <= high) {
    int mid = (low + high) / 2;
    if (a[mid] == value) {
      return mid;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      high = mid - 1;
    }
  }

  return -1;
}

 

着重强调一下容易出错的 3 个地方

1. 循环退出条件

注意是 low<=high，而不是 low

2.mid 的取值

实际上，mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。

3.low 和 high 的更新

low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。

比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3] 不等于 value，就会导致一直循环不退出。

 

实际上，二分查找除了用循环来实现，还可以用递归来实现

// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
  return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}

private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
  if (low > high) return -1;

  int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] == value) {
    return mid;
  } else if (a[mid] < value) {
    return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
  } else {
    return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
  }
}

 

二分查找应用场景的局限性

首先，二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。

其次，二分查找针对的是有序数据。

       二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。

再次，数据量太小不适合二分查找。

最后，数据量太大也不适合二分查找。

二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。

比如，我们有 1GB 大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要 1GB 的连续内存空间。

 

内容小结

今天我们学习了一种针对有序数据的高效查找算法，二分查找，它的时间复杂度是 O(logn)。

二分查找的核心思想理解起来非常简单，有点类似分治思想。即每次都通过跟区间中的中间元素对比，将待查找的区间缩小为一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。但是二分查找的代码实现比较容易写错。你需要着重掌握它的三个容易出错的地方：循环退出条件、mid 的取值，low 和 high 的更新。

二分查找虽然性能比较优秀，但应用场景也比较有限。底层必须依赖数组，并且还要求数据是有序的。对于较小规模的数据查找，我们直接使用顺序遍历就可以了，二分查找的优势并不明显。二分查找更适合处理静态数据，也就是没有频繁的数据插入、删除操作。

 

 

 

 

来源: 数据结构与算法之美     王争