数论-欧拉函数

数论-欧拉函数

继整除分块后的下一篇数论恶补……
参考资料

https://blog.csdn.net/weixin_43237242/article/details/97388834

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$\text{讲解证明}$

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$\text{经典例题}$

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$\text{讲解证明}$

欧拉函数就是 $\phi (n)$，表示小于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的个数。

把 $n$ 质因数分解，设

$$n=p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdot ...\cdot p_k^{x_k}$$

因为 $x<n$ 只要取到一个 $p_i\mid x$ 那么 $x$ 就不与 $n$ 互质了，所以 $p_i$ 个数中只能取那不被 $p_i$ 整除的 $p_i-1$ 个 $x$。所以

$$\phi (n)=(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})=\prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})=\prod _{i=1}^k\frac{p_i-1}{p_i}$$

这时求一个 $\phi (n)$ 的时间复杂度为 $\Theta (\sqrt{n})$（有时候也有用的）。

code

//&Eular
lng Eular(lng n){
	lng ans=n;
	for(lng i=2;i*i<=n;i++)
		if(n%i==0){
			ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i==0) n/=i;//把i这个质因子除光
		}
	if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}

很多时候要用到 $\phi (1),\phi (2),...,\phi (n)$，如果这样一个一个求时间复杂度就是 $\Theta (n\sqrt{n})$。

但是，如果用类似筛质数的方法打表求 $\phi (i)$ 时间复杂度就可以到 $\Theta (\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+...\frac{n}{n})=\Theta (n\log n)$。

code

//&Eular
const int N=1e5+10;
int E[N];
void Eular(lng n){
	for(int i=2;i<=n;i++)if(!E[i])//说明i是质数
		for(int j=i;j<=n;j+=i){
			if(!E[j]) E[j]=j;
			E[j]=E[j]/i*(i-1);
		}
}

另外一种方法，求质数的同时求 $\phi (i)$。

code

//&Eular
const int N=1e6+10;
int cnt,phi[N],p[N];
bool np[N];
void Eular(int n){  
	for(int i=2;i<=n;i++){  
		if(!np[i]) p[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){  
			np[i*p[j]]=1;  
			if(i%p[j]==0){phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}
			else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
		}  
	}
}

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$\text{经典例题}$

[Cnoi2020]明天后的幻想乡
有一个数列 $\{1,2,3,...,n\}$, 求它有多少个子序列是等比数列（至少 $3$ 项，没有重复元素，无序），答案对 $998244353$ 取模。
数据范围：$1\le n\le 10^{12}$。

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等比数列 $\{a_1,a_2,...,a_k\}(a_1<a_2<...<a_k,k\ge 3)$ 的公比不一定是整数，所以设为 $\frac{x}{y}(y<x)$。

$$\because a_k=a_1\cdot (\frac{x}{y}{)}^{k-1}$$

$$\therefore a_k{y}^{k-1}=a_1{x}^{k-1}$$

$$x^{k-1}\mid a_k,a_1=a_k\cdot (\frac{y}{x}{)}^{k-1}$$

$$\because k\ge 3,a_k\le n,x^{k-1}\mid a_k$$

$$\therefore x=\sqrt[k-1]{a_k}\le \sqrt{n}$$

然后可以 $\Theta (\sqrt{n})$ 枚举 $x$，然后再 $\Theta (\log n)$ 枚举 $k$，然后就得到了 $a_k$ 的数量为 $\lfloor \frac{n}{x^{k-1}}\rfloor$。

得到 $a_k$ 以后，因为 $a_1=a_k\cdot (\frac{y}{x}{)}^{k-1}$，而如果 $x,y$ 不互质的话，就会有重复的等比数列。所以这里的 $y$ 应该有 $\phi (x)$ 种。

然后就都解决了，注意要 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}998244353$。

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code

#include 
using namespace std;

//&Start
#define lng long long
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;

//&Eular
const int N=1e6+10;
int cnt,phi[N],p[N];
bool np[N];
void Eular(int n){  //当时还不知道有前面那种简单的方法
	for(int i=2;i<=n;i++){  
		if(!np[i]) p[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){  
			np[i*p[j]]=1;  
			if(i%p[j]==0){phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}
			else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
		}  
	}
}

//&Main
const lng mod=998244353;
lng n,ans;//不开longlong见祖宗
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	Eular(sqrt(n));
	for(lng i=2;i*i<=n;i++){//i就是x
		for(lng j=i*i;j<=n;j*=i)//j就是 i^(k-1)
			(ans+=(n/j)%mod*phi[i])%=mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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然后就结束了，我数论太蒻了。祝大家学习愉快！