Codeforces Educational Codeforces Round 56 (Rated for Div. 2) 1093G. Multidimensional Queries

有一$k$维点序列。
求$[l,r]$之间$\text{Manhattan}$距离最大的点。要求点修改区间查询。
解:每维的坐标分解如下：
$$|a_j-b_j|=a_j-b_{j}or{b}_j-a_j,j=1,2,...,k$$
因此一个点的$\text{Manhattan}$被$2^k$种情况控制。
假设$M_i(a,b)$代表其中的第$i$种情况,$M(a,b)$代表$a,b$的$\text{Manhattan}$距离。可以证明：
$$M(a,b)=\underset{i=1}{\overset{2^k}{\max }}\{M_i(a,b)\}$$
所以：
$$\text{res}=\underset{a,b\in a[l,r]}{\max }M(a,b)=\underset{a,b\in a[l,r]}{\max }\underset{i=1}{\overset{2^k}{\max }}\{M_i(a,b)\}=\underset{i=1}{\overset{2^k}{\max }}\underset{a,b\in a[l,r]}{\max }\{M_i(a,b)\}$$
显然$\underset{a,b\in a[l,r]}{\max }\{M_i(a,b)\}$可以通过线段树维护。因此总的时间复杂度为$\mathrm{O}(2^{k}n\lg n)$。

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char GET_CHAR(){
	if(head==tail){
		int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
		tail=(head=buffer)+l;
		if(head==tail)return EOF;
	}
	return *head++;
}
inline int READ(){
	int x=0,f=1;char c=GET_CHAR();
	for(;!isdigit(c);c=GET_CHAR()){
		if(c==EOF)return EOF;
		if(c=='-')f=-1;
	}
	for(;isdigit(c);c=GET_CHAR())x=(((x<<2)+x)<<1)+c-'0';
	return x*f;
}
const int N=200005;
int sgs[N<<2][32],sgt[N<<2][32];
int a[N][6];int k,kk;
int rl[32],rr[32];
void build(int p,int l,int r){
	if(l==r){
		int res;
		for(int i=0;i<kk;i++){
			res=0;
			for(int j=0;j<k;j++){
				if((i>>j)&1){
					res+=a[l][j];
				}else{
					res-=a[l][j];
				}
			}
			sgs[p][i]=sgt[p][i]=res;
		}
		return ;
	}
	int m=(l+r)>>1;
	build(p<<1,l,m);
	build(p<<1|1,m+1,r);
	for(int i=0;i<kk;i++){
		sgs[p][i]=min(sgs[p<<1][i],sgs[p<<1|1][i]);
		sgt[p][i]=max(sgt[p<<1][i],sgt[p<<1|1][i]);
	}
}
void ck(int p,int l,int r){
	if(l==r)return ;
	int m=(l+r)>>1;
	ck(p<<1,l,m);ck(p<<1|1,m+1,r);
}
void update(int p,int l,int r,int x){
	if(l==r){
		int res;
		for(int i=0;i<kk;i++){
			res=0;
			for(int j=0;j<k;j++){
				if((i>>j)&1){
					res+=a[l][j];
				}else{
					res-=a[l][j];
				}
			}
			sgs[p][i]=sgt[p][i]=res;
		}
		return ;
	}
	int m=(l+r)>>1;
	if(x<=m)update(p<<1,l,m,x);
	else update(p<<1|1,m+1,r,x);
	for(int i=0;i<kk;i++){
		sgs[p][i]=min(sgs[p<<1][i],sgs[p<<1|1][i]);
		sgt[p][i]=max(sgt[p<<1][i],sgt[p<<1|1][i]);
	}
}
void query(int p,int l,int r,int L,int R){
	if(L<=l&&r<=R){
		for(int i=0;i<kk;i++){
			rl[i]=min(sgs[p][i],rl[i]);
			rr[i]=max(sgt[p][i],rr[i]);
		}
		return ;
	}
	int m=(l+r)>>1;
	if(L<=m)query(p<<1,l,m,L,R);
	if(m< R)query(p<<1|1,m+1,r,L,R);
}
int main(){
	int n;
	n=READ();k=READ();
	kk=1<<k;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<k;j++){
			a[i][j]=READ();
		}
	}
	build(1,1,n);
	int q=0;
	q=READ();
	while(q--){
		int o;
		o=READ();
		if(o==1){
			int i;
			i=READ();
			for(int j=0;j<k;j++){
				a[i][j]=READ();
			}
			update(1,1,n,i);
		}else{
			int l,r;
			l=READ();r=READ();
			for(int i=0;i<kk;i++)rl[i]=0x3f3f3f3f,rr[i]=-0x3f3f3f3f;
			query(1,1,n,l,r);
			int res=0;
			for(int i=0;i<kk;i++){
				res=max(res,rr[i]-rl[i]);
			}
			printf("%d\n",res);
		}
		//ck(1,1,n);
	}
}