各类多项式操作的暴力递推法

一.一些约定.

对于接下来的所有操作，我们都是给出$F(x)$，求$G(x)=T(F(x))$，其中$T()$是操作函数，我们的目标是在$O(n^2)$的时间复杂度内完成所有操作.

多项式$F(x),G(x)$的系数分别为$f_i,g_i$.


二.多项式求逆.

对于一个多项式$F(x)$，我们要求$G(x)$满足$F(x)G(x)=1$.

那么有：
$$\begin{gathered} G(x)F(x)=1 \\ \sum _{j=0}^i{g}_j{f}_{i-j}=0 \\ {g}_i=-\frac{1}{f_0}\sum _{j=0}^{i-1}{g}_j{f}_{i-j} \end{gathered}$$

其中初项$g_0=\frac{1}{f_0}$.


三.多项式ln.

对于一个常数项为$0$的多项式$F(x)$，我们要求$G(x)$满足$G(x)=\ln (1+F(x))$.

那么有：
$$\begin{gathered} G(x)=\ln (1+F(x)) \\ {G}^{\prime }(x)=\frac{F^{\prime }(x)}{1+F(x)} \\ {G}^{\prime }(x)(1+F(x))=F^{\prime }(x) \\ {G}^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)-G^{\prime }(x)F(x) \\ (i+1)g_{i+1}=(i+1)f_{i+1}-\sum _{j=0}^{i-1}(j+1)g_{j+1}{f}_{i-j} \\ {g}_{i+1}=f_{i+1}-\frac{1}{i+1}\sum _{j=0}^{i-1}(j+1)g_{j+1}{f}_{i-j} \\ {g}_i=f_i-\frac{1}{i}\sum _{j=1}^{i-1}j{g}_j{f}_{i-j} \end{gathered}$$

其中初项$g_0=0$.


四.多项式exp.

对于一个常数项为$0$的多项式$F(x)$，我们要求$G(x)$满足$G(x)=e^{F(x)}$.

那么有：
$$\begin{gathered} G(x)=e^{F(x)} \\ {G}^{\prime }(x)=e^{F(x)}{F}^{\prime }(x) \\ {G}^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)G(x) \\ (i+1)g_{i+1}=\sum _{j=0}^i(j+1)f_{j+1}{g}_{i-j} \\ {g}_{i+1}=\frac{1}{i+1}\sum _{j=0}^i(j+1)f_{j+1}{g}_{i-j} \\ {g}_i=\frac{1}{i}\sum _{j=1}^{i}j{f}_j{g}_{i-j} \end{gathered}$$

其中初项$g_0=1$.


五.多项式开方.

对于一个多项式$F(x)$，我们要求$G(x)$满足$G^2(x)=F(x)$.

那么有：
$$\begin{gathered} G^2(x)=F(x) \\ \sum _{j=0}^i{g}_j{g}_{i-j}=f_i \\ 2g_0{g}_i=f_i-\sum _{j=1}^{i-1}{g}_j{g}_{i-j} \\ {g}_i=\frac{1}{2g_0}\left(f_i-\sum _{j=1}^{i-1}{g}_j{g}_{i-j}\right) \end{gathered}$$

其中初项$g_0=\sqrt{f_0}$.


六.多项式求幂.

对于一个多项式$F(x)$，我们要求$G(x)$满足$G(x)=F^k(x)$，其中$k$是一个常数.

那么有：
$$\begin{gathered} G(x)=F^k(x) \\ {G}^{\prime }(x)=k{F}^{\prime }(x)F^{k-1}(x) \\ {G}^{\prime }(x)=k{F}^{\prime }(x)\frac{G(x)}{F(x)} \\ {G}^{\prime }(x)F(x)=kG(x)F^{\prime }(x) \\ \sum _{j=0}^i(j+1)g_{j+1}{f}_{i-j}=k\sum _{j=0}^i{g}_j(i-j+1)f_{i-j+1} \\ (i+1)f_0{g}_{i+1}=k\sum _{j=0}^i{g}_j(i-j+1)f_{i-j+1}-\sum _{j=0}^{i-1}(j+1)g_{j+1}{f}_{i-j} \\ (i+1)f_0{g}_{i+1}=k\sum _{j=0}^i(i-j+1)g_j{f}_{i-j+1}-\sum _{j=1}^{i}j{g}_j{f}_{i-j+1} \\ (i+1)f_0{g}_{i+1}=k(i+1)g_0{f}_{i+1}+\sum _{j=1}^i{g}_j{f}_{i-j+1}(ki-kj+k-j) \\ {g}_{i+1}=\frac{1}{f_0}\left(k{g}_0{f}_{i+1}+\frac{1}{i+1}\sum _{j=1}^i{g}_j{f}_{i-j+1}(ki-kj+k-j)\right) \\ {g}_i=\frac{1}{f_0}\left(k{g}_0{f}_i+\frac{1}{i}\sum _{j=1}^{i-1}{g}_j{f}_{i-j}(ki-kj-j)\right) \end{gathered}$$

其中初项$g_0=f_0^k$.

对于$f_0=0$的情况，我们可以先把最后面的几个$0$去掉，算完之后再添加回去.