费马小定理

费马小定理(Fermat's little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出，其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

验证推导

引理1．
　　若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时,有a≡b(mod m)
　　证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质,c可以约去,a– b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)

引理2．
　　设m是一个 整数,且m>1,b是一个 整数且(m,b)=1.如果a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]是模m的一个完全剩余系,则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系.
　　证明:若存在2个整数ba[i]和ba[j]同余即ba[i]≡ba[j](mod m)..(i>=1 && j>=1),根据引理1则有a[i]≡a[j](mod m).根据完全剩余系的 定义可知这是不可能的,因此不存在2个 整数ba[i]和ba[j]同余.所以ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系.

构造素数

   

的完全 剩余系

因为

   

，由引理2可得

也是p的一个完全 剩余系。由完全剩余系的性质，

即

 

易知

   

， 同余式两边可约去

   

，得到

这样就证明了费马小定理。