Java - 蓝桥杯 - 历届试题 买不到的数目（扩展欧几里得）

问题描述

小明开了一家糖果店。他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。

小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。

你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。

本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入格式

两个正整数，表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)

输出格式

一个正整数，表示最大不能买到的糖数

样例输入1

4 7

样例输出1

17

样例输入2

3 5

样例输出2

7

 

import java.util.Scanner;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int a = sc.nextInt();
		int b = sc.nextInt();
		System.out.println(a*b-a-b);
	}
}

就这样直接就AC了 ······

 

我和我的小伙伴都惊呆了

 

自然数a,b互质,则不能表示成ax+by（x,y为非负整数）的最大整数是ab-a-b.

证明：

a或者b是1的情况下容易证明.
以下情况都是a>1且b>1的情况.
首先证明ab-a-b不能表示成ax+by
假设ab-a-b=ax+by,那么ab=am+bn (m,n都大于等于1)
左边是a的倍数,右边am是a的倍数,那么要求bn也要是a的倍数
b不是a的倍数,只能要求n是a的倍数,这样的话,bn=bn'a>=ba
那么am=ab-bn所以am1矛盾.
接着证明ab-a-b+i能表示成ax+by(i>0)
因为ab互质,最大公约数就是1,根据辗转相减的方法知ma+nb=1,
不妨假设m>0,n1(m=0意味着nb=1不可能的),所以ab-a-b+i(ma+nb)=(im-1)a+(a+in-1)b
im-1>0,现在只要证明a+in-1>=0,因为ima+inb=i
如果,|in|>ja其中j>0,那么ima=i+|in|b>jab,所以im>jb
所以ima+inb=(im-jb)a-(|in|-ja)b=i,说明|in|>ja时,我们就能调整im,in使得|in|

 

很显然，题目中没有说明两个数字是互质，如果是2和4 ，通过程序得出的结果是2。

这个结果显然是错误的。但是很明显oj并没有设置这样的数。。。

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时隔数月，回来继续补充一下这道题目的求解。

题目中给出a个b，

1、我假装大家都知道贝祖等式：ax+by = gcd(a,b)。证明略。我们可以求出这个特解，然后求出ax+by = c的通解。

2、这里，题目要求的是有负整数解时（x，y中有负数）c最大是多少。

3、ax+by = c要有解时，则当 gcd(a,b)|c  （c%gcd(a,b) == 0）时，该方程才有解。明显，当gcd(a,b) 不为1时，方程无解的情况是无穷多个的，因此不存在最大不能组合的数。

4、我们总能求出x和y的一个特解，即把贝祖等式求解后的x和y，但是x和y的解可以是负数解。

5、显然这里x和y不能为负数，因此，该题目的问题得以有解答。求最大不能组合的数。

6、这里又有一条定理：当gcd(a,b) == 1 时（a和b互质），当c>a*b-a-b时，方程ax+by = c有非负解。所以最大不能组合出的数目就是 a*b-a-b 。这里假设大家都知道这条定理，当然不知道也没关系，至少现在你知道了，可以自己试着证明一下，参考上面证明过程。