[NOIP2005提高组]过河

题目描述

描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。 题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入

第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。 第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。 第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出

一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数

样例输入

10
2 3 5
2 3 5 6 7

样例输出

2

提示

【数据规模】 对于30%的数据，L <= 10000； 对于全部的数据，L <= 10^9。

题解

step 1理解题意

在做这道题之前，一定要理解好题意，有一个需要特别注意注意的地方：
青蛙不是一定要跳到石头上[嗯…这一点坑了我好久]而是指青蛙尽量不踩石头的情况下还要跳到多少个石头上[语文渣求原谅]。

step 2状态转移方程

这是一个比较简单方程式。
首先设f[i]为在i点上的最少踩石子数则在前面(i-s)到(i-t)的点都可以改变i点的值,因此我们可以取f[i-s]-f[i-t]之中的最小值，另外如果有石头就加上1，如果没有就不加值，这里我们直接用flag[i]表示该点有无石头(有则为1，无则为0)。
因此我们可以写出状态转移方程式: f[i]=min(f[i−j]+flag[i]|s<=j<=t) f [ i ] = min ( f [ i − j ] + f l a g [ i ] | s <= j <= t )

step 3路径压缩

实际上，这题还没完呢…如果我们定义一个f[10^9]的数组，这肯定是会爆内存的——所以…[我就放弃了这道题][额，可能吗]..因此我们需要使用一种方法，使得这里采用一种最合适的方法——路径压缩(其实还有其他更(bu)优(kao)秀(pu)方法的)，目的是要找到两石同相隔较长时直接缩短的方法。[前方高能,请数学学科恐惧症患者尽快撤离!!]:
假设每次走p或者p+1步.我们知道 gcd(p,p+1) gcd ( p , p + 1 ) =1.
由扩展欧几里得可知，对于二元一次方程组：
px+(p+1)y=gcd(p,p+1) p x + ( p + 1 ) y = gcd ( p , p + 1 ) 是有整数解的，即可得： px+(p+1)y=s p x + ( p + 1 ) y = s 是一定有整数解的。
设 px+(p+1)y=s p x + ( p + 1 ) y = s 的解为： x=x0+(p+1)t,y=y0−pt x = x 0 + ( p + 1 ) t , y = y 0 − p t 。令 0<=x<=p 0 <= x <= p (通过增减t个p+1来实现)， s>p∗(p+1)−1 s > p ∗ ( p + 1 ) − 1 ,
则有： y=s−pxp+1>=s−p2p+1>p∗(p+1)−1−pxp+1>=0 y = s − p x p + 1 >= s − p 2 p + 1 > p ∗ ( p + 1 ) − 1 − p x p + 1 >= 0
即表示，当 s>=p∗(p+1) s >= p ∗ ( p + 1 ) 时， px+(p+1)y=s p x + ( p + 1 ) y = s 有两个非负整数解，每次走p步或者 p+1 p + 1 步， p∗(p+1) p ∗ ( p + 1 ) 之后的地方均能够到达。
如果两个石子之间的距离大于 p∗(p+1) p ∗ ( p + 1 ) ，那么就可以直接将他们之间的距离更改为 p∗(p+1) p ∗ ( p + 1 ) 。
综上，得到压缩路径的方法：若两个石子之间的距离> t∗(t−1) t ∗ ( t − 1 ) ，则将他们的距离更改为 t∗(t−1) t ∗ ( t − 1 ) 。
因为 t<=10 t <= 10 ，因此我们可以直接将大于10*9的距离直接化为90.
但是要注意，对于 s=t s = t 这种特殊情况，这种方法是不成立的应为在这种情况下，每次是不能够走p+1步的，因此需要另外特殊判断。
方程如下:
f[i]=f[i−1]+(imods==0) f [ i ] = f [ i − 1 ] + ( i mod s == 0 )

代码实现

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std; 
int f[10005],far[10005],a[10005],flag[10005],p,s,t,n; 
int main() 
{ 
    scanf("%d",&p); 
    scanf("%d%d%d",&s,&t,&n); 
    if(s==t) //特殊情况判断
    { 
        int cont=0,qaq; 
        for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&qaq),cont+=((qaq%s)==0); 
        printf("%d\n",cont);return 0; 
    } 
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]); 
    sort(a+1,a+n+1);a[0]=0;f[0]=0; 
    far[n+1]=min(p-a[n],100);p=0; //计算终点与最后一个点的距离
    for(int i=1;i<=n;i++)far[i]=min(a[i]-a[i-1],90),p+=far[i],flag[p]=1; //缩短路径，存储缩短后的终点距离并标记石头位置
    p+=far[n+1]; 
    for(int i=1;i<=p+9;i++) 
    { 
        f[i]=INT_MAX-1; 
        for(int j=s;j<=t;j++)if(i>=j)f[i]=min(f[i],f[i-j]+flag[i]); 
    } 
    int minn=INT_MAX-1; 
    for(int i=p;i<=p+9;i++) //因为青蛙可以跳出边界且t<=10因此再终点后p-p+9中取最小值
    minn=min(minn,f[i]); 
    printf("%d",minn); 
} 

附

在此送给[数学学科恐惧症患者]一个知识点，或许看看再实际操作一下就会了呢^_^
https://baike.baidu.com/item/%E6%89%A9%E5%B1%95%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%B7%E7%AE%97%E6%B3%95/1053275?fr=aladdin