乘法逆元总结 3种基本方法

逆元

逆元（inverse element）是在取模意义下，不能直接除以一个数，而要乘以它的逆元；a*b $\equiv$ 1 (mod p) , 那么a和b互为模p意义下的逆元，比如要计算(x/a)%p,可以写成x*b%p；

方法一

费马小定理

若P为素数，则 $a^{p-1}$ $\equiv$ 1 (mod p) 【费马小定理】
即：$a^{p-2}$ *a $\equiv$ 1 (mod p)
所以$a^{p-2}$就是a在模p意义下的逆元

const LL mod = 1e9+7;
//快速幂
LL fastPow(LL a,LL b){
    LL ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
//求x的逆元
LL inv(LL x){
    return fastPow(x,mod-2);
}

欧拉定理

若a和p互素（P不一定是素数），则$a^{\varphi (p)}$ $\equiv$ 1 (mod p)
即 $a^{\varphi (p)-1}\ast a$ $\equiv$ 1 (mod p)
所以$a^{\varphi (p)-1}$ 就是a在模p意义下的逆元

联系

$\varphi (p)$称为欧拉函数，表示小于等于P且与P互素的个数，显然若p为素数，则$\varphi (p)=p-1$

const LL mod = 1e9+7;
//求欧拉函数
long long phi(long long x)
{
    long long res = x;
    for(long long i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            res = res/i*(i-1);//res -= res/i;
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    }
    if(x>1)res =res/x*(x-1);//res -= res/x;
    return res;
}
//快速幂
LL fastPow(LL a,LL b){
    LL ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
//求x的逆元
LL inv(LL x){
    return fastPow(x,phi(mod)-1);
}

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方法二

扩展欧几里得算法

a*b $\equiv$ 1 (mod p)
a * b+k * p = 1
a就是要求的逆元

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//扩展欧几里得算法
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}
LL getInv(LL a,LL mod)//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1
{
    LL x,y;
    LL d=exgcd(a,mod,x,y);
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}

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方法三：递推求逆元

P是模数，i是待求的逆元，我们求的是$i^{-1}$在mod P意义下的值
p=k*i+r,若(rk=p/i,r=p%i
k * i+r $\equiv$ 1 (mod p)
两边同时除以i*r, $k\ast r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(modP)$
移项得:$i^{-1}\equiv -k\ast r^{-1}(modP)$
即：$i^{-1}\equiv -p/i$ * inv[i % mod p]
边界条件是 inv[1]=1

LL inv[mod+5];
void getInv(LL mod)
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<mod;i++)
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}