Matlab 黎卡提方程

在稳定性分析中，我们会经常使用李雅普诺夫稳定性分析方法进行分析。并且在稳定性分析当中经常会出现两个方程，如下：
（1）$A^{T}P+PA=-Q$
（2）$A^{T}P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{T}P+Q=0$
其中第二个方程又称为黎卡提(Riccati)方程，在一般的线性系统当中经常会使用它来证明系统的渐近稳定。

由于经常会用到上述两个方程的求解，并且每次都会忘记怎么求，故以此博客来记录一下，免得以后遇到的时候再去查资料。

取如下几个矩阵：
$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$, $B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$, $Q=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$, $R=0.5$

求解$A^{T}P+PA=-Q$中的P，命令格式为P = lyap(A', Q)
代码如下：

A = [0 1; -1 0];
Q = [0 1; 1 0];
R = 0.5;
P = lyap(A',Q)

# 输出结果
P =
     0     0
     0     1

求解$A^{T}P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{T}P+Q=0$中的P，命令格式为[P,l,g] = care(A, B, Q, R)
代码如下：

A = [0 1; -1 0];
B = [0; 1];
Q = [0 1; 1 0];
R = 0.5;
[P,l,g] = care(A, B, Q, R)

# 输出结果
P =
   -1.0000    0.0000
    0.0000    0.0000
    
l =
  -0.0000 + 1.0000i
  -0.0000 - 1.0000i

g =
   1.0e-07 *
    0.0000    0.2584