杜教筛学习小计

今天做模拟赛由于不会杜教筛导致70分。。。
于是去学了一下

μ

求 M(n)=∑ni=1μ(i)
μ 有性质： ∑d|nμ(d)=[n=1]
于是有式子：

1=∑i=1n[i=1]=∑i=1n∑d|iμ(d)=∑t=1n∑d=1[nt]μ(d)=∑i=1nM([ni])

转换一下得到：

M(n)=1−∑i=2nM([ni])

然后M(n)里n的取值只有根号种，可以递归或者递推算

ϕ

求 S(n)=∑ni=1ϕ(i)
ϕ 有性质： ∑d|nϕ(d)=n
（因为相当于枚举gcd，然后 ϕ(d) 就是n以内的数跟n的gcd为d的个数）
于是有：

12×n×(n+1)=∑i=1ni=∑i=1n∑d|nϕ(d)=∑t=1n∑d=1[nt]ϕ(d)=∑i=1nS([ni])

转化一下得到：

S(n)=12×n×(n+1)−∑i=2nS([ni])

也可以直接算