当小球遇上盒子

小球与盒子问题

• 这类问题是求解把一些小球放进一些盒子里的本质不同的方案数。
• 通过球相同/不同，盒子相同/不同，能/不能有空盒分成了8个不同的问题。
• 本篇文章会分别对这8个问题进行分析求解。

前置芝士&复习巩固

• 组合数 ：从$n$个物品里选出m个物品进行组合的方案数。
  $$C_n^m=\frac{n!}{m!\cdot (n-m)!}$$

• 排列数 ：从$n$个物品里选出$m$个物品进行排列的方案数。
  $$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

• 圆排列：一个$n$个元素构成的集合，从中选出$m$个元素构成一个环的方案数。
  $$Q_n^m=\frac{A_n^m}{m}$$

• 第一类斯特林数：用$n$个元素组成$m$个环的方案数。
  $$s_n^m=s_{n-1}^{m-1}+(n-1)\cdot s_{n-1}^m$$

• 第二类斯特林数：把一个大小为$n$的集合划分成$m$个非空集合的方案数，集合内部无序。
  $$S_n^m=S_{n-1}^{m-1}+m\cdot S_{n-1}^m$$

1.球相同，盒子不同，不能有空盒

• 就是把$n$个球分成$m$份，每一份不能为空，插$m-1$个板即可。
  $$ans=C_{n-1}^{m-1}$$

2.球相同，盒子不同，可以有空盒

• 把n个球分成$m$份，每一份可以为空，再增加$m$个球，插$m-1$个板，每一份再拿走一个球即可。
  $$ans=C_{n+m-1}^{m-1}$$

3.球不同，盒子不同，可以有空盒

• 对于每一个球，你都可以放到$[1,m]$的任意一个位置,由于球不同，所以球与球之间是独立的。
  $$ans=m^n$$

4.球不同，盒子不同，不能有空盒

• 对空着的位置进行容斥
• $f[i]$表示至少有i个空盒的方案数,$ans[i]$表示有i个空盒的方案数
  $$f[i]=(m-i{)}^n\cdot C_m^i$$
  $$f[i]=\sum _{j=i}^m{C}_j^i\cdot ans[j]$$
• 二项式反演可得
  $$ans[i]=\sum _{j=i}^m(-1{)}^{j+i}{C}_j^i\cdot f[j]$$
• 最后答案就是$ans[0]$，即
  $$\sum _{i=0}^m(-1{)}^{i}f[i]$$

5.球不同，盒子相同，不能有空盒

• 相当于把n个元素的集合划分成$m$份，也就是第二类斯特林数
  $$ans=S_n^m$$

• 这个做法时间复杂度是$O(n^2)$的

• 其实这个就是问题4的答案除以$m!$，可以用问题4的容斥

6.球不同，盒子相同，可以有空盒

• 因为可以有空盒，我们可以枚举每次一共用了几个盒子，然后把相应的第二类斯特林数加起来就可以了
  $$ans=\sum _{i=0}^{m}S[n][i]$$
• 这种数也叫$Bell$数
• $Bell$数的定义：第$n$个$Bell$数表示集合$[1,2,3,...,n]$的划分方案数
  $$B_n=\sum _{m=0}^{n}S[n][m]$$

7.球相同，盒子相同，可以有空盒

• 设$f[n][m]$表示$n$个球放到$m$个盒子里的方案数
  $$if(n==0||m==1)f[n][m]=1$$
  $$if(n<m)f[n][m]=f[n][n]$$
  $$if(n>=m)f[n][m]=f[n-m][m]+f[n][m-1]$$
• 如果球比盒子多，分为放满和不放满两种情况讨论
• 等价于自然数拆分问题

8.球相同，盒子相同，不能有空盒

• 我们首先在所有的盒子中放一个球，就转化成了问题7
  $$ans=f[n-m][m]$$

以上就是盒子小球最基础的八种情况了

盒子与小球二

• $N$个有差别的盒子$(1<=N<=20)$。你有$A$个红球和$B$个蓝球。$0<=A<=15,0<=B<=15$。球除了颜色没有任何区别。你可以将球放进盒子。一个盒子可以同时放进两种球，也可以只放一种，也可以空着。球不必全部放入盒子中。编程计算有多少种放置球的方法。
• $A$的放置和$B$的放置互不影响，所以我们可以单独计算方案，最后相乘即可
• 枚举球放了$i$个，放满了$j$个盒子里
  $$ansA=1+\sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^{min(i,n)}{C}_n^j\cdot C_{i-1}^{j-1}$$
  $$ansB=1+\sum _{i=1}^B\sum _{j=1}^{min(i,n)}{C}_n^j\cdot C_{i-1}^{j-1}$$
  $$ans=ansA\cdot ansB$$

盒子与小球三

• 有$n$个相同的球，$m$个不同的盒子，每个盒子最多放$k$个球 ，请计算将这$n$个球全部放入盒子中的方案数模$1000007$后的结果 ，$n<=5000$，$m<=5000$。
• 对限制进行容斥
• $f[i]$表示至少有i个盒子放的球大于$k$个的方案数
  $$f[i]=C_m^i{C}_{n-i\ast (k+1)+m-1}^{m-1}$$
• $ans[i]$表示有i个盒子放的球大于k个的方案数
  $$ans[i]=\sum _{j=i}^m(-1{)}^{j+i}\cdot f[j]$$
• 答案就是$ans[0]$，即
  $$\sum _{i=0}^m(-1{)}^i\cdot C_m^i{C}_{n-i\ast (k+1)+m-1}^{m-1}$$

盒子与小球四

• 给定$n$个各不相同的小球，和$m$个不同的$BOX$，有多少种不同的放球方法，使得每个$BOX$里的小球个数不小于$k$。$n,m,k<=15$。
• $f[i][j]$表示前i个盒子放了j个球的方案数
  $$f[i][j]=\sum _{l=k}^{j}f[i-1][j-l]\cdot C_{n-(j-l)}^l$$

完结撒花