SSL2837 2017年11月6日提高组T1 互质（math）

2017年11月6日提高组T1 互质

Description

对于两个整数k 和m，如果k 和m 的最大公约数为1，则k 和m 互质。给出两个正整
数n 和m(m≤n),定义f(n,m)为1~n！中与m！互质的数的个数。其中n！=1*2*3*..*(n-1)*n。
Task：给定n 和m，要求计算f(n,m)。

Input

本题设多组数据。
输入文件的第一行有一个整数T(1≤T≤100000)，表示有T 组数据。
接下来有T 行，每行两个整数n 和m(2≤n≤100000,2≤m≤n)。

Output

输出文件包含T 行，每行一个整数，表示f(n,m)。
由于答案过大，所以你只要输出f(n,m) mod 131071。
131071 是M17(梅森素数,2^17-1)。

Sample Input

1
3 2
Sample Output

3
Hint

对于100%的数据，1≤T≤100000，2≤N≤100000
AcFast 友情提示：小心运算溢出，也就是RTE215 错误

分析：首先，令n=N!，m=M!
∵M<=N
∴m|n，所以问题化为求1-n中与m互质的数的个数，即(n/m)*phi(m)，其正确性是显然的。
如果一个数x< m且和m互质，即gcd(x,m)=1，那么gcd(x+km,m)=1，假设x+km和m不互质，那么一定存在一个m的因数y，使得y也是x+km的因数，即能写成y(x/y+km/y)，但是x中没有y这个因子，
∴假设不成立
∴gcd(x+km,m)=1，对于每一个小于m的和m互质的数，都能用这个式子退出剩下的大于m小于等于n且和m互质的数，于是我们得到ans=(n/m)phi(m)，这样是否包含了所有的答案呢？
可以知道对于任意一个与m互质的数，减去km一定能得到m以内的一个和m互质的数，因此上式包含了所有的符合要求的数
由于M!是阶乘，所以phi(i)=M!(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pk)，1到pk是小于等于M的所有素数，O(MloglogM)筛出，约去M!得ans=N!(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pk)，所有的N!都可以在O(N)的预处理求出，因为要modR，所以需要求p1到pk的逆元。
我们观察式子：ans=N!(1-p1/1)(1-p2/1)…(1-pk/1)，对于不同的询问，只有N!和k不同，既然能够预处理N!，何不预处理后面的乘积？进行O(M)的预处理，每次回答的复杂度降为O(1)。

代码

#include 
#define N 100005
#define mo 131071
#define ll long long
using namespace std;

ll p[N],ny[N],jc[N],phi[N];
ll n,m,tot;
bool f[N]; 

ll power(ll a,ll b)
{
    ll r=1,base=a;
    while (b)
    {
        if (b&1) r=r*base%mo;
        base=base*base%mo;
        b>>=1;
    }
    return r;
}

int main()
{
//  freopen("a.in","r",stdin);
//  freopen("a.out","w",stdout);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    jc[1]=ny[1]=1;
    for (int i=2;i<=100000;i++)
    {
        jc[i]=jc[i-1]*i%mo;
        ny[i]=power(i,mo-2);
    }
    f[1]=true;
    for (int i=2;i<=100000;i++)
    {
        if (!f[i]) p[++tot]=i;
        for (int j=1;j<=tot;j++)
        {
            if (p[j]*i>100000) break;
            f[p[j]*i]=true;
            if (i%p[j]==0) break;
        }
    }
    int x=0,q=1;
    phi[1]=1;
    while (1)
    {
        q++;
        if (q>100000) break;
        if (q==p[x+1])
        {
            x++;
            if (x>tot) break;
            phi[q]=phi[q-1]*(p[x]-1)%mo*ny[p[x]]%mo;
            continue;
        }
        phi[q]=phi[q-1];
    }
    while (T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        printf("%lld\n",jc[n]*phi[m]%mo);
    }
}