【高数】多元函数求极值和最值有什么不同？

一、起因

在做某道题时，多元函数函数在有界闭区域内连续，求最值。
当时有诸多疑惑：

• 为什么求极值时，导数为0的点、导数不存在的点都是可疑极值点，而求最值时没有包括导数不存在的点？
• 拉格朗日乘数法求得的条件极值，怎么判断是极大值极小值？
• 什么时候需要判断极大值极小值，什么时候直接计算函数值比较而得出最值？

二、概念理解

1. 多元函数极值的定义：
   
2. 无条件极值的判定及求法：
   
   注意：（1）成立前提是偏导数均存在，也就是可微函数的极值点处的偏导值为0。如果不可导，那么不适用此定理。
   （2）对 x 和 y 的偏导数均为0的点称为驻点。该定理表示，注意后面这个定语！具有偏导数的函数的极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点。
   （3）如果某点对 x 和 y 不可导（至少对其一不可导），那么该点也可能是极值点。类似一元函数，不可导处可能是极值点。
   如何判定不可导处的点是否真的是极值点？→定义法
   （4）对于可微函数，极值点的偏导数必为0，因此可从之求得可疑极值点，但如何判定真的是极值点？→充分条件或定义法。
   
   充分条件用于对偏导数为0的可疑极值点的进一步判定，使用条件是有一阶且二阶连续偏导数（一般可以写出函数式的初等函数，均满足此条件）。当出现(3)的无法判断状态时，转为定义法判断。

方法总结：
多元函数，无条件极值，先看定义域内是否可微。

• 不可微，则对于偏导数不存在处，用定义法判极值。
• 可微，用必要条件（偏导数为0）求极值可疑点，再用充分条件（二阶偏导的值）依次判断上述可疑点，若出现无法判定则回到定义法判定。

3. 条件极值：

• 易于变量替换的条件，就用上，可减少一些变量，并转化为了无条件极值。
• 不易用条件，则用拉格朗日乘数法求可疑极值点（这是个必要条件，是否是极值，可用二阶偏导或定义法或实际问题的性质判）。一般条件极值所得即所问，或者是为求最值服务的，所以这里无需担心是否真的是极值。
  

4. 最值：函数的最大值、最小值，即一些可疑值比较后取得。

三、问题思考

1. 二者的区别：

• （对于任何函数）极值点可疑点：驻点、偏导数不存在处
• （对于可微函数）极值点可疑点：驻点
• （对于有界闭区域上的连续可微函数）最值点可疑点：内部驻点、边界最值点（条件极值点/驻点及端点）

2. 求最值时，为什么不需要确认，极值可疑点是极值点？
   

3. 什么情况下，极值就一定是最值？

   首先，需要满足以下条件（一般题目都满足）。书中给出的①是有界闭区域D，不过其实这里的D可以是无界区域或无界闭区域，如下面例子是开区域，不过，题意决定了存在最值，且能在D内取得。

   但是！也有一些无界区域D出现了内部唯一极值不等于最值的情况，这里有一篇文章讲解的很清楚（虽然考试无需思考此问题，但有助于理解方法）。
   指路链接：《二元函数一个值得注意的问题》https://wenku.baidu.com/view/56a753f89ec3d5bbfd0a74e4.html
   
   实际情况中，比如制作一个体积为20m^3（图中有误）的水箱 ，长宽高为多少用料最少？可设出长宽x、y，高为20/xy。由题意，水箱的最小用料面积一定存在（不然怎么求），且一定在开区域D内取得，所以唯一极值就是最值！！！

四、解题

• 为什么求极值时，导数为0的点、导数不存在的点都是可疑极值点，而求最值时没有包括导数不存在的点？
  ---- 当题目条件有可微函数时，偏导数存在，或是由可以写出的函数表达式看出其可偏导，因此不用求导数不存在的点。

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• 拉格朗日乘数法求得的条件极值，怎么判断是极大值极小值？
  ---- 一般由实际问题性质决定！让你求，你就求，一定可求！

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• 什么时候需要判断极大值极小值，什么时候直接计算函数值比较而得出最值？
  问极大值点、极小值点分别是什么，则需判断；求最值，则重点在最值，而不用判是否为极值点。

五、小结

1. 多元函数，无条件极值：

• 定义域内是否可微。
• 不可微，则对偏导数不存在处，用定义法判。
• 可微，偏导数为0，求极值可疑点。再用二阶偏导的值判断，若无法判定则回到定义法。

2. 条件极值：

• 可变量替换，转化为无条件极值。
• 不易替换，则拉格朗日乘数法求可疑极值点，常由实际问题的性质判是否真的为极值（一般都是）。

3. 最值点：

• 比较各可疑点的函数值得出。
• （对于有界闭区域上的连续可微函数）最值点可疑点：内部驻点、边界最值点（条件极值点及端点）