[SLAM]（2-3）：SLAM数学描述、运动方程、观测方程

结合 高翔老师的著作《视觉SLAM十四讲：从理论到实践》，加上小白的工程经验共同完成。建议购买纸制书籍搭配使用。

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1.SLAM数学描述

     SLAM过程可总结为两个基本方程：

•     运动方程
•      观测方程

     对于不同的传感器，这两个方程有不同的参数化形式。如果我们保持通用性，把它们取成抽象形式，那么SLAM过程可总结为上述两个基本方程。

    这两个方程描述了最基本的SLAM问题：当我们知道运动测量的读数 u ,以及传感器的读数 z 时，如何求解定位问题（估计 x）和建图问题（估计 y）? 这时，我们把SLAM问题建模成了一个状态估计问题：如何通过带有噪声的测量数据，估计内部的、隐藏着的状态变量？

     状态估计问题的求解，与两个方程的具体形式，以及噪声服从哪种分布有关。我们按照运动和观测方程是否为线性，噪声是否服从高斯分布进行分类，分为线性/非线性和高斯/非高斯系统。其中线性高斯系统（LG 系统）最为简单，他的无偏最优估计可以由卡尔曼滤波器（KF）给出。而在复杂的非线性非高斯系统（NLNG系统）中，我们会使用以扩展卡尔曼滤波器（EKF）和非线性优化两大类方法去求解它。时至今日，主流视觉SLAM使用以图优化（Graph Optimization）为代表的优化技术进行状态估计。我们以为优化技术已经明显优于滤波器技术，只要计算资源允许，我们通常都偏向于使用优化方法。

2.什么是运动？

    我们要考虑从 K-1 时刻到 K 时刻，机器人的位置 X是如何变化的。

    通常，机器人会携带一个测量自身运动的传感器，比如说码盘或惯性传感器。这个传感器可以测量有关运动的读数，无论什么传感器，我们都能使用一个通用的、抽象的数学模型：

                                                            

    这里的  是运动传感器的读数（有时也叫输入），为噪声。

3.什么是观测？

    假设机器人在 K 时刻，于  处探测到了某一个路标  ,我们要考虑这件事情是如何用数学语言来描述的。

    当机器人在  位置上看到某个路标点 ,产生了一个观测数据  ，用一个抽象的函数 h 来描述这个关系：

                                                              

     这里  是这次观测里的噪声。

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