三次样条插值

C++数值算法（第二版)

3.3 三次样条插值

        给定一个列表显示的函数

yi=y(xi),i=0,1,2,...,N-1。特别注意在xj和xj+1之间的一个特殊的区间。该区间的线性插值公式为

        (3.3.1)式和(3.3.2)式是拉格朗日插值公式(3.1.1)的特殊情况。

        因为它是(分段)线性的，(3.3.1)式在每一区间内的二阶导数为零，在横坐标为xj处的二阶导数不定义或无限。三次样条插值的目的就是要得到一个内插公式，不论在区间内亦或其边界上，其一阶导数平滑，二阶导数连续。

        做一个与事实相反的个假设，除yi的列表值之外，我们还有函数二阶导数y"的列表值，即一系列的yi"值，则在每个区间内，可以在(3.3.1)式的右边加上一个三次多项式，其二阶导数从左边的yj"值线性变化到右边的yj+1"值，这么做便得到了所需的连续二阶导数。如果还将三次多项式构造在xj和xj+1处为零，则不会破坏在终点xj和xj+1处与列表函数值yj和yj+1的一致性。

          进行一些辅助计算便可知，仅有一种办法才能进行这种构造，即用

        注意,(3.3.3)式和(3.3.4)式对自变量x的依赖，是完全通过A和B对x的线性依赖，以及C和D(通过A和B)对x的三次依赖而实现。

可以很容易地验证，y"事实上是该插值多项式的二阶导数。使用ABCD的定义对x求(3.3.3)式的导数，计算dA/dx dB/dx dC/dx dD/dx,结果为一阶导数

         因为x=xj是A=1，x=x(i+1)时A=0，而B正相反，则(3.3.6)式表明y"恰为列表函数的二阶导数。而且该二阶导数在两个区间(xj-1, xj)和(xj, xj+1)上是连续的。

现在唯一的问题是，假设yj"是已知的。而实际上并不知道。然而，仍不要求从(3.3.5)式算出的一阶导数在两个区间的边界处是连续的。三次样条的关键思想就在于要求这种连续性，并用它求得等式的二阶导数yi"。

设(3.3.5)式在区间(xj-1, xj)上对x=xj求得的值，等于同一等式在区间(xj,x[j+1])上对x=xj求得的值，便可得到所求方程，是新整理得到(对j=1,......,N-2)

        这意味着有N-2个线性方程，但却有N个未知数yi",i=0,......,N-1。因此，存在一个具有两个参数的可能解集。为求得唯一解，需要给出两个进一步的条件，一般取x0和x[n-1]处的边界条件。最常见的做法有：

        [1]设y[0"]和y[n-1]"之一或两个都为零，得到所谓的自然三次样条函数，其一个或两个边界的二次导数为零。

        [2]设y[n]"和y[n-1]"为(3.3.5)式计算得到的值，使得该插值函数的一阶导数一个或两个边界处有特定的值。

        三次样条插值特别实用的原因之一在于，有两个附加边界条件的方程组(3.3.7)，它不仅是线性的，而且是三对角的。每个yj"仅与其最邻近的j+-1的值有关。因此，方程可以用三对角算法(参见2.4节)在O(N)次运算内求解。该算法非常简明，很容易正确地构造出样条计算的程序。但是这使得程序不像(3.3.7)式的实现那样完全透明，所以建议读者将下面程序与 tridag程序(2.4节)比较一上，仔细地研究。

#include "nr.h"

void NR::spline(Vec_I_DP &x, Vec_I_DP &y, const DP yp1, const DP ypn,
	Vec_O_DP &y2)
{
	int i,k;
	DP p,qn,sig,un;

	int n=y2.size();
	Vec_DP u(n-1);
	if (yp1 > 0.99e30)
		y2[0]=u[0]=0.0;
	else {
		y2[0] = -0.5;
		u[0]=(3.0/(x[1]-x[0]))*((y[1]-y[0])/(x[1]-x[0])-yp1);
	}
	for (i=1;i 0.99e30)
		qn=un=0.0;
	else {
		qn=0.5;
		un=(3.0/(x[n-1]-x[n-2]))*(ypn-(y[n-1]-y[n-2])/(x[n-1]-x[n-2]));
	}
	y2[n-1]=(un-qn*u[n-2])/(qn*y2[n-2]+1.0);
	for (k=n-2;k>=0;k--)
		y2[k]=y2[k]*y2[k+1]+u[k];
}

        重要的是要记住，在处理数组xi和yi构成的列表函数时，程序spline仅能调用一次。一旦调用过后，对任意的x，插值函数的值通过调用( 要多少次就调多少次)一个独立的程序splint(spline interpolation的字头缩写)来得到。

#include "nr.h"

void NR::splint(Vec_I_DP &xa, Vec_I_DP &ya, Vec_I_DP &y2a, const DP x, DP &y)
{
	int k;
	DP h,b,a;

	int n=xa.size();
	int klo=0;
	int khi=n-1;
	while (khi-klo > 1) {
		k=(khi+klo) >> 1;
		if (xa[k] > x) khi=k;
		else klo=k;
	}
	h=xa[khi]-xa[klo];
	if (h == 0.0) nrerror("Bad xa input to routine splint");
	a=(xa[khi]-x)/h;
	b=(x-xa[klo])/h;
	y=a*ya[klo]+b*ya[khi]+((a*a*a-a)*y2a[klo]
		+(b*b*b-b)*y2a[khi])*(h*h)/6.0;
}

Qt实现的Demo: