高等数学：第五章 定积分（5） 定积分的分部积分法

§5.5  定积分的分部积分法

设函数， 在区间上具有连续的导函数， 则

而        

故        

这就是定积分的分部积分公式。

也可写成形式  

 

【例1】求

解： 令  ，   ， 

当  时，  ； 当  时， 。

 

【例2】计算定积分  ( 为自然数 )。

解：设  ，                    

 ，    

这样，我们得到了递推公式，依此公式，再计算出两个简单的初值与，即可求得。

，      

当 为偶数，有

引入记号

同理，若为奇数，有

综合便得到著名的华里斯公式一

由于 ， 故

 

【例3】求  (  为自然数 )

解：令，

当时，  ； 当  时，

 

【例4】(华里斯公式二)

 

证明：设

当  时， 有

如果 为偶数， 则有

如果 为奇数，则

综合得到著名而常用的华里斯公式二

华里斯公式的应用十分地广泛，掌握好它可以方便地求许多定积分。

【例5】求

解：应用华里斯公式二， 有