中国剩余定理 && 扩展中国剩余定理

中国剩余定理

问题

求解同余方程组
$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\\ x\equiv a_3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_3)\\ ...\\ x\equiv a_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)\end{array}$$
其中$m_1,m_2,m_3...m_k$为两两互质的整数
求x的最小非负整数解

定理

令$M={\prod }_{i=1}^k{m}_i$，即M是所有$m_i$的最小公倍数

$t_i$为同余方程$\frac{M}{m_i}{t}_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$的最小非负整数解

则有一个解为$x={\sum }_{i=1}^k{a}_i\frac{M}{m_i}{t}_i$

通解为$x+i\ast M(i\in Z)$
特别的，最小非负整数解为$(x$%$M+M)$%$M$

证明

因为$\frac{M}{m_i}$是除$m_i$之外的所有m的倍数
所以$\forall k̸=i,a_i\frac{M}{m_i}{t}_i\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)$
又有$\frac{M}{m_i}{t}_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$
两边同时乘$a_i$得$a_i\frac{M}{m_i}{t}_i\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$
带入$x={\sum }_{i=1}^k{a}_i\frac{M}{m_i}{t}_i$
原方程组成立
——算法竞赛进阶指南

代码实现

$t_i$同余式的求解可以用扩展欧几里得

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){ x=1; y=0; return;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int tp=x;
    x=y; y=tp-a/b*y;
}

int china()
{
    int ans=0,lcm=1,x,y;
    for(int i=1;i<=k;++i) lcm*=b[i];
    for(int i=1;i<=k;++i)
    {
        int tp=lcm/b[i];
        exgcd(tp,b[i],x,y);
        x=(x%b[i]+b[i])%b[i];//x要为最小非负整数解
        ans=(ans+tp*x*a[i])%lcm;
    }
    return (ans+lcm)%lcm;
}

一道模板题

洛谷P3868 [TJOI2009]猜数字 题解

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扩展中国剩余定理

问题

求解同余方程组
$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\\ x\equiv a_3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_3)\\ ...\\ x\equiv a_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)\end{array}$$
其中$m_1,m_2,m_3...m_k$为不一定两两互质的整数
求x的最小非负整数解

求解

假设已经求出前k-1个方程组成的同余方程组的一个解为x
且有$M={\prod }_{i-1}^{k-1}{m}_i$
则前k-1个方程的方程组通解为$x+i\ast M(i\in Z)$

那么对于加入第k个方程后的方程组
我们就是要求一个正整数t，使得
$x+t\ast M\equiv a_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)$

转化一下上述式子得
$t\ast M\equiv a_k-x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)$

对于这个式子我们已经可以通过扩展欧几里得求解t
若该同余式无解，则整个方程组无解
若有，则前k个同余式组成的方程组的一个解解为$x_k=x+t\ast M$

所以整个算法的思路就是求解k次扩展欧几里得

lt exgcd(lt a,lt b,lt &x,lt &y)
{
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    lt gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    lt tp=x;
    x=y; y=tp-a/b*y;
    return gcd;
}

lt excrt()
{
    lt x,y,k;
    lt M=bi[1],ans=ai[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        lt a=M,b=bi[i],c=(ai[i]-ans%b+b)%b;
        lt gcd=exgcd(a,b,x,y),bg=b/gcd;
        if(c%gcd!=0) return -1; 
        
        x=mul(x,c/gcd,bg);
        ans+=x*M;
        M*=bg;
        ans=(ans%M+M)%M;
    }
    return (ans%M+M)%M;
}

一道模板题

洛谷P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）