算法工程师数学题(3)康托展开和逆康托展开

康托展开定义:设有n个数(1,2,3,4,…,n),可以有组成不同(n!种)的排列组合,康托展开表示的就是是当前排列组合在n个不同元素的全排列中的名次。

公式: X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! 

其中a[n]表示当前数是数列中未出现的数中第几小的【注意从0开始计数】

在(1,2,3,4,5)5个数的排列组合中,计算 34152的康托展开值。
第一位是3,则小于3的数有两个,为1和2,a[5]=2,则首位小于3的所有排列组合为 a[0]*(5-1)!
第二位是4,则小于4的数有两个,为1和2,注意这里3并不能算,因为3已经在第一位,所以其实计算的是在第二位之后小于4的个数。因此a[4]=2
第三位是1,则在其之后小于1的数有0个,所以a[3]=0
第四位是5,则在其之后小于5的数有1个,为2,所以a[2]=1
第五位是不用计算啦,因为在它之后已经没有数了,所以a[1]固定为0
根据公式: 
X = 2 * 4! + 2 * 3! + 0 * 2! + 1 * 1! + 0 * 0! 
= 2 * 24 + 2 * 6 + 1 
= 61 

所以比 34152 小的组合有61个,即34152是排第62。

逆康托展开:

在(1,2,3,4,5)给出61可以算出起排列组合为 34152。由上述的计算过程可以容易的逆推回来,具体过程如下:

•用 61 / 4! = 2余13,说明a[5]=2,说明比首位小的数有2个,所以首位为3。

•用 13 / 3! = 2余1,说明a[4]=2,说明在第二位之后小于第二位的数有2个,所以第二位为4。 
•用 1 / 2! = 0余1,说明a[3]=0,说明在第三位之后没有小于第三位的数,所以第三位为1。
•用 1 / 1! = 1余0,说明a[2]=1,说明在第二位之后小于第四位的数有1个,所以第四位为5。
•最后一位自然就是剩下的数2啦。

•通过以上分析,所求排列组合为 34152。

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int MAX_SIZE = 5;//当前排列的数字个数

//计算 MAX_SIZE 的阶乘
int fun(int m)
{ 
	int ret = 1;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		ret =ret* i;
	}
	return ret;
}

//康托逆展开:
//in为输入的数,ans为得到的排列.
void getArray(int in, vectorans)
{
	    in--;
		bool vis[MAX_SIZE+1] = { 0 };
		for (int i = 0; i MAX_SIZE || i < 0) { cout << "vetcor下标越界" << endl; break; }
			cout << ans[i] << endl;
		}
}

//康托展开:
void getNumber(vectorin)
{
	int i,j,numOfMin,ans=0;
	for (i = 0; i < MAX_SIZE ; i++)
	{
		numOfMin = 0;
		for (j = i + 1; j < MAX_SIZE; j++)
		{
			if (in[j]< in[i])
				numOfMin++;
		}
		int jie = fun(MAX_SIZE - i - 1);
		ans += numOfMin*jie;
		printf("ans是: %d\n", ans);
	}
	ans ++;
	printf("康拓展开值是: %d\n", ans);
} 

int main()
{
	//int num;
	//vectora;
	//cout << "输入MAX_SIZE个数的排列,计算其康拓展开:" << endl;
	//while (cin >> num) {
	//	a.push_back(num);
	//	if (cin.get() == '\n')   //遇到回车,终止
	//		break;
	//}
	//for (vector::iterator it = a.begin(); it != a.end(); ++it)
	//{
	//cout << *it;
	//}	cout << endl;
	//printf("读取值测试 %d\n", a[0]);
	//getNumber(a);

		vectorarray;
		int numb;
		cout << "输入一个数,计算其康拓逆展开:" << endl;
		cin >> numb;
		getArray(numb, array);

		putchar(10);
	return 0;
}



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