树状数组应用汇总（全）

最近树状数组学疯了啊，感觉自己之前学了假的树状数组。
才知道树状数组能干的事情这么多。在这里我给大家总结一下，也方便自己复习。
（既然是总结知识点，当然我就不会一一解释了，不过这里我给大家一些其他博主的优秀博客及对应知识点题目，我也会在一些难点及细节稍微点一下，以供未学者学习。）
我们的梳理顺序从简到难，如果读者觉得一些地方太容易就请跳过看下面内容。

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1.树状数组原理，区间查询及单点修改
最基本的树状数组，如果这里都没学的建议你不要往下看了。
给出几篇优秀的博客，需要的自己学习吧。

-推荐博客：
http://blog.csdn.net/int64ago/article/details/7429868
http://www.cnblogs.com/wuwangchuxin0924/p/5921130.html
-题目：
POJ 2352 Stars
链接：http://poj.org/problem?id=2352

值得注意的是，树状数组修改、查询时，建议使用while来实现，不然容易出错。

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2.树状数组的区间修改：
比较难理解，需要一定的数学功底（差分思想）。

-推荐博客：
http://blog.csdn.net/fsahfgsadhsakndas/article/details/52650026
http://www.cnblogs.com/wuwangchuxin0924/p/5921130.html
-题目：
洛谷 P3368 树状数组 2
链接：https://www.luogu.org/problem/show?pid=3368

最需要注意的就是差分查找时一定要差分Right+1与Left-1,才能把差分值转移过来！

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3.二维树状数组：
最近在POJ上碰到一题，才知道有这个玩意。
思路还是很巧妙地，用到了容斥原理。

-推荐博客：
http://blog.csdn.net/z309241990/article/details/9615259
http://blog.csdn.net/acm_BaiHuzi/article/details/46819049（也是习题的题解）
-题目：
POJ 2155 Matrix
链接：http://poj.org/problem?id=2155

提醒一下，大家都知道如果树状数组下标出现了0这个程序就Game Over了。
0&-0=0，这不就无限循环跑死你。
所以在容斥时，请将扩展的部分放在矩阵的右下角，防止出现0的情况。
提醒：上面的第二篇博客有一个小错误：

void add(int i,int j,int x) {  
    while(i<=n+1) {     //!!!!!应该是n+1不是n！（读者自己想想为什么）  
        int jj=j;  
        while(jj<=n+1) {  //!!!!!同上
            bit[i][jj]+=x;  
            jj+=jj&-jj;  
        }  
        i+=i&-i;  
    }  
}  

好吧我还是说一下为什么吧，由于容斥后出目标部分外其他部分不能变，所以修改时要修改扩展部分（最后1与-1会抵消至没有）。

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4.树状数组求逆序对：
一般想到逆序对大家就会想到归并排序，
却不知离散化加树状数组是一个更加快捷的方式。
学一下吧，在考场上压缩运行时间的一大利器！

-推荐博客：
http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8520096
http://blog.csdn.net/qq_39553725/article/details/76639783
-题目：
POJ 2299 Ultra-QuickSort
链接：http://poj.org/problem?id=2299

这个应用看起来简单，但理解起来是有难度的，编者当初就搜资料，问大佬，看题解弄了好久才彻底搞明白，希望读者们能耐住性子仔细钻研。

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5.树形树状数组：
树状数组与树的集合，常见方法为重新编号，并记录新编号节点的管辖区域。
在求解子树权值和的时候还是相当实用的。
但这个应用需要建边，要用到链式前向星，不会的同学先到下面这个博客中学习：
-链式前向星：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/16902023

-推荐博客：
http://www.cnblogs.com/gj-Acit/p/3236843.html
-题目：
POJ 3321 Apple Tree
链接：http://poj.org/problem?id=3321

由于用到DFS，建边等，还要重新编号，所以元素之间的映射关系会变得比较乱。
读者在自己编程前最好先想清楚变量之间的关系，再动手编程（多打注释！）。
不这么做保准你会后悔的<编到一半自觉删掉重编>！！！！！！！！

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6.树状数组求指定长度单调子序列：
这其实就是第4点单调队列求逆序对的升级版。
但由于此时就需要排除两数相等的情况，同时计算多区间符合数量，
就需要用一些特殊技巧了。

-题目：
洛谷 P1637 三元上升子序列
链接：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1637
-这一内容的解析请看上题的题解：
https://www.luogu.org/wiki/show?name=%E9%A2%98%E8%A7%A3+P1637
http://www.cnblogs.com/zbtrs/p/7078292.html

提醒一下，由于处理了相等数字的情况，线段树的长度有所减少，只有元素个数cnt长度，所以修改、查询时，pos<=cnt而不是pos<=N！

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小结：
树状数组的应用肯定还有很多，这里的只不过是冰山一角，其实更多情况下，树状数组要与其他算法合用（如二分答案、前缀和优化之类的）才能发挥出最大的威力，希望上述内容对各位的思维能有所启发，更加深入的内容还望读者自己钻研，毕竟信息学的比赛就是算法设计的比赛，所以，加油吧，各位oier!!!!

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虽然我转载了大量别人的博客，但转载这篇我的博客还是要声明出处的哦.（学学我！）