关于考研数学微分方程绝对值问题

摘要

本人在复习考研数学过程中，在做某些微分方程问题时，有些题目的标准答案要加上绝对值，有些又不用加。按理说凡是涉及 $ln$ 的我全加上就好了，但是加上绝对值又不便下一步计算，为此特地查阅一些资料，将考研数学微分方程中绝对值相关问题整理记录。

本文将首先提出问题模型，接着对其进行分析讨论，最后给出应用结论。

问题的提出

开头提到的微分方程中绝对值问题其实本质上就是不定积分中对 $\int \frac{1}{u}du=ln|u|+C$ 中绝对值的去留问题。在记公式或者课程学习时，我们都知道上式是需要加上绝对值的，但是在有些应用时却又可以不加绝对值，甚至加上绝对值就很难进行下一步计算。下面举几个例子说明。

例1： $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$

例2： $2\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$

例3： $e^{\int -\frac{1}{x}}[\int x^2{e}^{\int \frac{1}{x}dx}dx+C]$

分析与讨论

对于例1很好分析，我们按照常规方式来求解。
$$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$$
$$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$$
$$ln|y|=ln|x|+C_1$$
$$|y|=e^{C_1}|x|$$
此时由于$y=\pm e^{C_1}|x|$，而如果我们令 $\pm e^{C_1}=C_2$ 此时上式即可写为 $y=C_{2}x$，也就是说绝对值可以去掉，且 $C_2\ne 0$。

如果上述讨论不具有一般性，甚至不够严谨，我们还可以通过判断函数族是否相同的方式来判断两个解函数是否为相等。
那么现在问题描述如下：
由含有任意常数 C 和对数函数的方程
$$ln|g(x,y)|=\phi (x,y)+C(1)$$
所确定的函数族 $y=y_1(x)$ ，和由对应的方程
$$lng(x,y)=\phi (x,y)+C(2)$$
所确定的函数族 $y=y_2(x)$，是否为同一函数族？

由 (1) 式得
$$|g(x,y)|=e^{\phi (x,y)+C}=e^C{e}^{\phi (x,y)}=c_1{e}^{\phi (x,y)}(c_1>0)$$
$$g(x,y)=\pm c_1{e}^{\phi (x,y)}=c_2{e}^{\phi (x,y)}(c_2\ne 0)(3)$$

由 (2) 式得
$$g(x,y)=e^{\phi (x,y)+C}=e^C{e}^{\phi (x,y)}=c_2{e}^{\phi (x,y)}(c_2>0)(4)$$

由 (3) 和 (4) 可以看出，函数族 $y_1(x)$ 和函数族 $y_2(x)$ 都可以表示为 $g(x,y)=c_2{e}^{\phi (x,y)}$，两个函数的区别仅在于：对于 $y_1(x)$ 来说，$c_2\ne 0$，而对于 $y_2(x)$ 来说，$c_2>0$。如果我们规定由 (2) 式确定的 (4) 中的 $c_2\ne 0$（扩大了 $c_2$ 的范围），则$y_1(x)\equiv y_2(x)$，即 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 就是同一个函数族了。

如此一来对于经过积分运算，得到形如 (1) 式的微分方程的通解，是否去掉绝对值，取决于我们的选择，若去掉绝对值（即表示为 (2) 式的形式）则需要先将对数函数变为指数函数，再更改 $c_2$ 的范围由任意常数到非零常数。

对于例2，求得的通解形式为 $ln|y{|}^2=ln|x|+C$ ，此时取对数 $y^2=e^C|x|$ ，显然绝对值是无法直接去掉的。

但是对于例3却并不能用上述结论，因为一阶线性微分方程的解
$$y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C](5)$$
的函数族不同于 (1) 式确定的函数族。那么当我们遇到 $\int P(x)dx=ln|g(x)|dx(+c)$ ，这里的绝对值是否可以省略？即：
$$y=e^{-ln|g(x)|}[\int Q(x)e^{ln|g(x)|}dx+C]=ln|g(x){|}^{-1}[\int Q(x)ln|g(x)|dx+C](6)$$
中的绝对值是否可以省略？
下面经过分类讨论来证明 (6) 式中 e 右上角的对数函数内的绝对值符号可以省去，不影响一阶线性微分方程的解。

$y=e^{-ln|g(x)|}[\int Q(x)e^{ln|g(x)|}dx+C]$
 $=ln|g(x){|}^{-1}[\int Q(x)ln|g(x)|dx+C]$

$$=\{\begin{array}{rlr}(g(x){)}^{-1}[\int Q(x)g(x)dx+C]& & g(x)>0\\ -(g(x){)}^{-1}[\int Q(x)(-g(x))dx+C]& & g(x)<0\end{array}$$

$$=\{\begin{array}{rlr}(g(x){)}^{-1}[\int Q(x)g(x)dx+C]& & g(x)>0\\ (g(x){)}^{-1}[\int Q(x)g(x)dx+C]& & g(x)<0\end{array}$$

即 $e^{-ln|g(x)|}[\int Q(x)e^{ln|g(x)|}dx+C]=e^{-lng(x)}[\int Q(x)e^{lng(x)}dx+C]$

所以例3中的绝对值可以去掉。

结论

对形如 $ln|g(x,y)|=\phi (x,y)+C$ 的微分方程，可以通过变对数为指数，同时改变常数 $c_2$ 的取值范围来去掉绝对值。对一阶线性微分方程通解同时，可以对 e 的右上角的指数同时去绝对值。

参考资料

[1]翟丽丽，$\int \frac{1}{u}du=ln|u|+c$ 中绝对值符号在微分方程求解中的处理方法，2018.21，41-42。