数论-gcd和exgcd

1.首先是gcd，最大公因子。求两个数的最大公因子有很多中方法，其实是殊途同归。我们就说一说最简单并且容易实现的欧几里得算法吧。

2.欧几里得算法：它是一个递归的算法，gcd(a,b)=gcd(b,a%b).证明也不难：口糊一下：假设k是a,b的最大公因子，那么k|a&&k|b。这是等式左边，至于右边，我们只需要证明k|a%b即可。我们把a%b写成：a-b*(a/b)那么显然，k是整除它的。所以等式成立。这个递归的出口就是当有一个数据是0，那么gcd就是另外一个非0的数据，因为gcd(a,0)=a.代码也是很简洁，复杂度是log级别甚至更低。

#define ll long long
ll gcd(ll a,ll b)
{
   return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

3.exgcd:就是拓展欧几里得算法。它是用来解二元不定方程的。（当然，你说它可以求逆元我也不反对）。我们首先看一个这样的问题：ax+by=c.(没错，这是一条直线，但是我们现在不再解析几何里面讨论它）。这个方程一定有整数解吗？这似乎是一个棘手的问题。不过没关系，有个人告诉了我们这样的一个结论：ax+by=gcd(a,b)，这个方程一定是有整数解的。这个人就是裴蜀。OK，知道了这个东西，我们对于ax+by=c这个方程就好办了，假设gcd(a,b)=d;我们对于等式两边同时除以d：（a/d)x+(b/d)x=(c/d)。显然，等式左边一定是一个整数，那么等式右边也要视一个整数，所以我们找到了这个等式存在整数接的必要条件：d|c。并且我们也可以证明这个条件是充分的。我们知道了这些，我们如何求得这个解呢？我们还是从ax+by=gcd(a,b)入手。

4.ax+by=gcd(a,b)的解法：解这个方程我们就需要用到了欧几里得算法了：首先我们知道：ax1+by1=gcd(a,b),又由欧几里得算法我们可以知道：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以我们可以得出第二个方程：bx2+a%by2=gcd(b,a%b)=ax1+by1.这样x1就可以转移到x2一直到递归结束。那么递归结束是什么时候呢？我们知道：欧几里得算法递归的出口是有一个数据为0了。这里也是：如果b为0，得到的方程就是ax=a，x=1.那么我们可以得到一组解：x=1，y=0。这样就可以实现整个问题的求解。代码如下：

long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y)
{
	long long d, t;
	if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; }
	d = exgcd(b, a % b, x, y);
	//这里就是我们能根据转移的式子退出来的结果，大家可以自己手推一下。
	t = x - a / b * y;
	x = y;
	y = t;
	return d;
}

当我们解决了ax+by=gcd(a,b)之后，解决ax+by=c就很简单了，让等式缩小d倍解完再扩大即可

5.说了这么多。看个问题吧。题目链接。中文题就不在多说了，我们直接考试分析：我们假设x=（A/B)%9973.令c=9973，我们把这个模意义下的式子展开：x+kc=A/B.继续整理：Bx+kBc=A.这是第一个式子，又因为n=A%c,我们继续展开：n+tc=A.联立着连个式子：Bx-n=(t-kB)c。令t-kB=y，整理：Bx-cy=n.--->(B/n)x-(c/n)y=1=gcd(B,c)，所以这个式子一定有解。套个公式即可，但是这里显然是小题大做了，当我们知道Bx-n=（t-kB)c的时候，我们就可以写成：（Bx-n)%c=0.枚举x很快就可以得到答案。