数学分析教学：第一章

目录

 

第一章 实数与数列极限

第一节 数轴

术语解析：

第二节 无穷小数和数列

1.定义

补充matlab数学工具

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第一章 实数与数列极限

第一节 数轴

术语解析：

• 区间

  • 开区间：所有在a 与 b 之间的点的集合称为开区间（a, b）= {x: a

  • 闭区间：由开区间添加两个端点a 与 b 组成的区间【a, b】。

  • 半开区间（半闭区间）：（a, b]、[a, b)。

  • 实数的集合：

  • 开区间与闭区间的长度：|x - y|

• 三角不等式

  

  • 等号成立的条件：x, y中至少有一个为零，或者两者同号

    • 用处很广

• 实数域

  • 有理数： 可以表示为两个整数之商/比例。

    • 

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    • 两个定义的等价证明

    • 有理数经过加减乘除（除数不能是0）的四则运算之后仍为有理数

    • 数轴表示有理数（p/q）的方法：设 q 为给定的正整数, 吧单位长度分成 q 等份，找出代表 1/q 的那一点，从而对于任意整数 p 不难找出代表 p/q 的那个点。

    • 实数的有理数逼近：对任意固定的实数 x, 一定可以找出一个整数 p 使得： => 由于q是任意取定的正整数，每个实数都能用有理数去逼近到任意精确的程度。但只是逼近，数轴上依然有有理数不能表示的点

    • 设 n 为正整数，且 n 为不完全平方数，那么 就不是有理数

  • 无理数

    • Dedekind切割定理

    • 柯西列定义

  • 魏尔斯特拉斯十进制小数定义

  • 超越数

    • 不是代数数的实数叫超越数

  • 于是超越数就一定是无理数

  • 代数数

    • 能表示成整系数多项式的根的实数叫代数数

  • 每个有理数都是代数数

     

    第二节 无穷小数和数列

  • 1.定义

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  • 有理数的特征是它或是有尽小数，或是循环的无尽小数。由于有尽小数可以写成从某位起以后的数字全为0的无尽小数，所以我们可以说有理数是循环的无尽小数.这样，我们称不循环的无尽小数为无理数。在这个意义上，全体无尽小数就称为实数.数轴上的任何一点，都可以用一个实数来表示；每一个实数也对应着数轴上的一个点（严格来说，这一事实只有在证明了闭区间套定理——即定理1.9才能成立.）.简略地说，全体实数正好铺满了数轴.这一事实称为实数的连续性.

  • 

    定义实数的方式有好多种.通过无尽小数来定义实数只是其中的一种，而且是比较简单和直观的一种，因为它同通常的测量过程相关.需要指出的是，实数的连续性和数轴的连续性是一回事。

    对于收敛数列的定义中，正数E必须是任意给定的，不能用一个很小的正数来代替.所谓“任意”，着重强调的是“任意地小”的方面，而不是“任意地大”那一方面。在证明数列收敛的时候，我们重视的是满足条件的N的存在性，并不需要找出满足要求的最小的正整数. 以下关于运用定义的极限证明很重要。

  • 

    

     

    补充matlab数学工具

    %% 绘制y=xsin(x)的曲线
    x = linspace(-pi/4,pi/4,300);
    y = x.*sin(1./x);
    plot(x,y);
    grid;
    xlabel('Independent variable X');
    ylabel('Independent variable Y');
    title('The functions y=sin(1/x)')

     

    

     

  • %%z = sine (sqrt(x^2+y^2)) /sqrt(x^2+y^2)的3D曲面图
    x =-7.5: .5:7.5;
    y = x;
    [X, Y] = meshgrid(x,y);
    Z = sin(sqrt(X.^2+Y.^2))./sqrt(X.^2+Y.^2);
    surf (X, Y, Z)

    

    %% x = sine (t), y = cosine (t), z = t.的参数方程图
    t = 0:pi/50:10*pi;
    plot3(sin(t),cos(t),t)

    

     

    %% r = cosine (2t) * sine (2t)极坐标函数曲线
    t = 0:.01:2 * pi;
    r = sin(2*t).* cos(2*t);
    polar(t,r)

    

    作者：公众号：“从零归一”，关注公众号，获取更多的数学资源。