【阵列信号处理】矩阵代数基础知识总结

一：奇异矩阵和非奇异矩阵

奇异矩阵就是行列式为 0 的矩阵（必须是方阵才可谈奇异与非奇异），也就是不可逆矩阵。
非奇异矩阵就是行列式不为 0 的矩阵，也就是可逆矩阵。

二、Matlab中的转置与共轭转置

matlab默认的矩阵转置是共轭转置，是对复数进行操作的。

求共轭转置矩阵的指令为A'，即共轭转置。

求非共轭转置矩阵的指令为A.'，相当于conj(A')，即转置。conj(A')意思时，先A'共轭转置，再取共轭，两次共轭抵消。

当A为实数矩阵时，A'和A.'没有区别，但当A是复数矩阵时，就会有区别，A.'相当于conj(A')。一般来说，没有特殊的要求的话，对复数的转置操作都是用A',即共轭转置，因为共轭转置更加自然，对于复数做内积，是必须要共轭转置。

% 当A为实数矩阵时，A'和A.'没有区别
>> A = [ 1 2; 3 4];
>> A'  % 共轭转置
ans =
     1     3
     2     4

>> A = [ 1 2; 3 4];
>> A.' % 转置
ans =
     1     3
     2     4

% 当A为复数矩阵时，A'和A.'有区别
>> A = [ 1+2i 2+2i; 3+2i 4+2i];
>> A' % 共轭转置
ans =
  1 - 2i  3 - 2i %共轭转置不仅专置了，而且复数符号i前的运算符还取共轭了
  2 - 2i  4 - 2i

>> A = [ 1+2i 2+2i; 3+2i 4+2i];
>> A.'  % 转置
ans =
  1 + 2i  3 + 2i
  2 + 2i  4 + 2i

% conj运算符作用是“取复共轭"
>> A = [ 1+2i 2+2i; 3+2i 4+2i];
>> conj(A')  % 共轭转置再取复共轭，相当于转置
ans =
  1 + 2i  3 + 2i
  2 + 2i  4 + 2i

>> A = [ 1+2i 2+2i; 3+2i 4+2i];
>> conj(A)   % 取复共轭
ans =
  1 - 2i  3 - 2i
  2 - 2i  4 - 2i

【补充】数学中的复共轭

对每个元素取复共轭,，数学符号：*    ,相当于matlab中conj()
对矩阵转置，数学符号：T                   ,相当于matlab中A.'
对矩阵共轭转置，数学符号： H          ,相当于matlab中A'

三、数学中 arg min的意思

数学中 arg min的意思：arg min 就是使后面这个式子达到最小值时的x，t的取值。

1、其中arg min是元素（变元）的英文缩写。

比如：函数 cos(x) 在 ±π、±3π、±5π、……处取得最小值（-1），则 argmin cos(x) = {±π, ±3π, ±5π, ...}。如果函数 f(x) 只在一处取得其最小值，则 argmin f(x) 为单点集，比如 argmin (x - 4)^2 = 4。

2、arg的意思：argument of a complex number 复数的辐角

比如：z = r*(cosθ + i sinθ)

r是z的模，即：r = |z|;

θ是z的辐角，记作：θ = arg(z)

任意一个不为零的复数z=a+bi的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍。

把适合于-π<θ≤π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argz。辐角的主值是唯一的。且有arg（z）=Arg（z）+2kπ。