扩展欧几里得算法C语言实现+例题：青蛙的约会

扩展欧几里得算法

求解ax + by = gcd(a,b) 的一组特解

→由此求解出ax + by =gcd(a,b) 的通解

→延伸到 ax + by = c 的解集

求解过程：（其中a%b=a-(a/b)*b）

ax+by=gcd(a,b)

∵ gcd(a,b) = gcd(b,a%b)

∴ ax1+by1 = bx2+(a%b)y2

则 ax1+by1 = bx2+(a-a/b*b)y2

∴ ax1+by1 = ay2+b(x2-a/b*y2)

∴ x1=y2 y1=(x2-a/b*y2)

当b==0时，ax+by = gcd(a,b) = a

∴ x=1 , y=0;

---

板子

#include
int exgcd(int a,int b,int *x,int *y)  			//*x *y 通过地址修改参数值
{
 if(b==0)
 {
  		*x=1;*y=0; 
  		 //达到b==0的边界，开始递归的回溯，一步步返回前一个的值，直到最后求出x的值，也就是ax+by=gcd(a,b)的解
  		 return a;				
 }
 else
 {
	  int r=exgcd(b,a%b,x,y);		
	  int t=*x;
 	  *x=*y;
  	  *y=(t-a/b**y);
 
	   return r;		//r为a,b的最大公因子
	 }
} 
int main()
{
 int a,b,x,y;
		 scanf("%d%d",&a,&b);
 int ww=exgcd(a,b,&x,&y);
		x=(x%b+b)%b;		//求x的最小值
	printf("%d",x);
	
}

---

例题：青蛙的约会

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input

1 2 3 4 5
Sample Output

4

题解：
设次数为t，则两个青蛙的位置分别为(x+mt)mod L、(y+nt) mod L，
相遇即是(x+mt)%L=(y+nt)%L
即 (m-n)t+kL=y-x
运用exgcd算法即可**

#include
#include 
#define ll long long
int exgcd(ll a,ll b,ll *m,ll *n)
{
 if(b==0) {
 	 *m=1;*n=0;
 	 return a;
 }
 else {
	  int r=exgcd(b,a%b,m,n);
	  int t=*m;
		  *m=*n;
		  *n=(t-a/b**n);
	  return r;
 }
}
int main()
{
		 ll m,n,x,y,l,aa,t,k,ww;
	     	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
	     aa=exgcd((n-m),l,&t,&k);
	     if((x-y)%aa)
 		 	printf("Impossible");
 		 else{
 	  		t=t*((x-y)/aa);
 	  		ww=l/aa;
	   		t=(t%ww+ww)%ww;
  		 	printf("%lld",t);
  		 }
		 return 0;
}