数学建模——图与网络（1）——概述

一、图论解决的问题

• 图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了 一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。

二、图、点、线段的实际意义

• 图：指某类具体事物和这些事物之间的联系；
• 点：表示这些具体事物；
• 连接两点的线段（直的或曲的）：表示两个事物的特定的联系；

三、网络优化问题

1. 最短路问题（SPP－shortest path problem）

• 一名货柜车司机奉命在短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的 公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？
• 假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的短路。

2. 公路连接问题

• 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总成本最小？

3. 指派问题（assignment problem）

• 一家公司经理准备安排N 名员工去完成N 项任务，每人一项。由于各员工的特点不同，不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配工作方案可以使总回报最大？

4. 中国邮递员问题（CPP－chinese postman problem）

• 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设计一条最短的投递路线（从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局）？

5. 旅行商问题（TSP－traveling salesman problem）

• 一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他（她）设计一条最短的旅行路线 （从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地）？

6. 运输问题（transportation problem）

• 某种原材料有M个产地，现在需要将原材料从产地运往N个使用这些原材料的工厂。假定M个产地的产量和N家工厂的需要量已知，单位产品从任一产地到任一工厂的运费已知，那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低？

7. 总结

我们可以发现以上问题（网络优化问题）具有如下两大特点：

1. 它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求某种意义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为最优化或优化（optimization）问题。
2. 它们都易于用图形的形式直观地描述和表达，数学上把这种与图相关的结构称为网络（network）。

与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称网络优化 （netwok optimization）问题。所以上面例子中介绍的问题都是网络优化问题。由于多数网络优化问题是以网络上的流（flow）为研究的对象，因此网络优化又常常被称为网络流（network flows）或网络流规划等。