4. 乘除运算及浮点数运算

4.1 整数乘法运算

1. 整数乘法

通常，高级语言中两个n位整数相乘得到的结果通常也是一个n位整数，即结果只取2n位乘积中的低n位。
–例如，在C语言中，参加运算的两个操作数的类型和结 果的类型必须一致，如果不一致则会先转换为一致的 数据类型再进行计算。

Q: 在计算机内部，一定有 $x^2\ge 0$ 吗?
A:
 若x是带符号整数，则不一定！
 如x是浮点数，则一定！

例如，当n=4 时, 52=-7<0

     0101
x    0101
——————————
     0101           结果溢出
+  0101       只取低4位，值为-111B=-7
——————————
 00011001    

Q: 如何判断返回的z是正确值？

int mul(intx, inty)
{
	 int z=x*y; 
	 return z;
} 

A:
 ①使用程序语言来判断：当$!x||z/x==y$为真(除数为0/反向验算）
 ②编译器（使用指令）进行判断:
  当 $-2n-1\le x\ast y<2n-1$（不溢出）时
  即：乘积的高n位为全0或全1，并等于低n位的最高位
  即：乘积的高n+1位为全0或全1
若x、y和z都改成unsigned类型，则编译器判断方式为：乘积的高n位为全0，则不溢出

2. 溢出判断

假定：

n位无符号整数	$x_u$	$y_u$	$p_u=x_u\ast y_u$
对应机器数	$X_u$	$Y_u$	$P_u$
n位带符号整数	$x_s$	$y_s$	$p_s=x_s\ast y_s$
对应机器数	$X_s$	$Y_s$	$P_s$

若$Xu=Xs$且$Yu=Ys$，则$Pu=Ps$，但 $Puh̸=Psh$（即高位不一定相等）
可用无符号乘来实现带符号乘，但高n位无法得到，故不能判断溢出。

• X*Y的高n位可以用来判断溢出，规则如下：
   – 无符号：若高n位全0，则不溢出，否则溢出
   – 带符号：若高n位全0或全1且等于低n位的最高位，则不溢出。
  
• 硬件不判溢出，仅保留2n位乘积，供软件使用
• 如果程序不采用防止溢出的措施，且编译器也不生成用于溢出处理的代码，就会发生一些由于整数溢出而带来的问题。
• 指令：分无符号数乘指令、带符号整数乘指令
• 乘法指令的操作数长度为n,而乘积长度为2n，乘法指令不生成溢出标志，编译器可使用2n位乘积来判断是否溢出。

以下程序存在什么漏洞，引起该漏洞的原因是什么。

/* 复制数组到堆中，count为数组元素个数*/ 
int copy_array(int *array, int count) 
{ 
   int i;  
   /* 在堆区申请一块内存*/
   int *myarray = (int *) malloc(count*sizeof(int));
   if (myarray == NULL)
   	 return -1; 
   for (i = 0; i < count; i++)
   	 myarray[i] = array[i]; 
   return count; 
/*数溢出，以一段预设信息覆盖一个已分配的堆缓冲区，
造成远程服务器崩溃或者改变内存数据并执行任意代码*/

$count\ast sizeof(int)$ 会溢出。
如$count=2^{30}+1$时， $count\ast sizeof(int)=4$。不断向内存中复制数据，会使堆（heap）中大量数据被破坏！

3. 变量与常数之间的乘运算

  整数乘法运算比移位和加法等运算所用时间长，通常一次 乘法运算需要多个时钟周期，而一次移位、加法和减法等运算只要一个或更少的时钟周期，因此，编译器在处理变量与常数相乘时，往往以移位、加法和减法的组合运算来代替乘法运算。
  例如，对于表达式 $x\ast 20$，编译器可以利用 $20=16+4=24+22$，将 $x\ast 20$ 转换为 $(x<<4)+(x<<2)$，这样，一次乘法转换成了两次移位和一次加法。

4.2 整数除法运算

1. 整数除法

Q: 对于带符号整数来说，n位整数除以n位整数，除 $-2n-1/-1=2n-1$ 会发生溢出外，其余情况都不会发生溢出。Why?
A: 因为商的绝对值不可能比被除数的绝对值更大，因而不会发生溢出， 也就不会像整数乘法运算那样发生整数溢出漏洞。

• 因为整数除法，其商也是整数，所以，在不能整除时需要进行舍入， 通常按照朝0方向舍入，即正数商取比自身小的最接近整数（Floor， 地板），负数商取比自身大的最接近整数（Ceiling，天板）。 例如：7/2=3, -7/2=-3。

• 整除0的结果无法用一个机器数表示。整数除法时，除数不能为0，否则会发生“异常”，此时，需要调出操作系统中的异常处理程序来处理。

• 两个代码段

	//代码段一： 
	int a = 0x80000000;
	int b = a / -1; 
	printf("%d\n", b);
	
	//运行结果为-2147483648 
	//除以-1 被优化成取负指令neg, 故未发生除法溢出
	
	//代码段二： 
	int a = 0x80000000; 
	int b = -1; 
	int c = a / b; 
	printf("%d\n", c); 
	
	//运行结果为“Floating point exception”
	//CPU检测到了异常

2.变量与常数之间的除运算

对于整数除法运算，由于计算机中除法运算比较复杂，而且不能用流水线方式实现，所以一次除法运算大致需要30个或更多个时钟周期，比乘法指令的时间还要长！

• 为了缩短除法运算的时间，编译器在处理一个变量与一个2的幂次形式的整数相除时，常采用右移运算来实现。
   –无符号：逻辑右移
   –带符号：算术右移
• 结果一定取整数
  ①能整除时，直接右移得到结果，移出的为全0
   例如，$12/4=3：00001100>>2=00000011$
      $-12/4=-3：11110100>>2=11111101$
  ②不能整除时，采用朝零舍入，即截断方式
    –无符号数、带符号正整数（地板）： 移出的低位直接丢弃
    –带符号负整数（天板）：加偏移量(2 k -1)，然后再右移 k 位，低位截断（这里 K 是右移位数）

例如：
无符号数 $14/4=3$：$00001110>>2=00000011$
带符号负整数 $-14/4=-3$
若直接截断，则 $11110010>>2=11111100=-4̸=-3$
应先纠偏，再右移: $k=2$, 故 $(-14+22-1)/4=-3 $
即：$11110010+00000011=1111010111110101>>2=11111101=-3$

Q: 假设 x 为一个int型变量，请给出一个用来计算 x /32的值的函数div32。 要求不能使用除法、乘法、模运算、比较运算、循环语句和条件语句， 可以使用右移、加法以及任何按位运算。

A:
若$x$为正数，则将$x$右移$k$位得到商；
若$x$为负数，则$x$需要加一个偏移量 $(2k-1)$后再右移$k$位得到商。
因为 $32=25$，所以 $k=5$。 即结果为: $(x>=0?x:(x+31))>>5$
但题目要求不能用比较和条件语句，因此要找一个计算偏移量$b$的方式
这里，$x$为正时 $b=0$，$x$为负时 $b=31$. 因此，可以从 $x$的符号得到 $b$. $x>>31$ 得到的是32位符号，取出最低5位，就是偏移量 $b$。

int div32(int x) 
{  
/* 根据x的符号得到偏移量b */
	int b=(x>>31) & 0x1F; 
	return (x+b)>>5; 
}

4.3 浮点数运算

1. 浮点数运算及结果

（1）浮点数运算异常

设两个规格化浮点数分别为$A=Ma\ast 2^{Ea}$ , $B=Mb\ast 2^{Eb}$ ,
$A+B=(Ma+Mb\ast 2^{-(Ea-Eb)})\ast 2^{Ea}$ (假设Ea>=Eb)
$A-B=(Ma-Mb\ast 2^{-(Ea-Eb)})\ast 2^{Ea}$ (假设Ea>=Eb)
$A\ast B=(Ma\ast Mb)\ast 2^{Ea+Eb}$
$A/B=(Ma/Mb)\ast 2^{Ea-Eb}$
上述运算结果可能出现以下几种情况：

阶码上溢	一个正指数超过了最大允许值	+∞/-∞/溢出
阶码下溢	一个负指数超过了最小允许值	+0/-0
尾数溢出 （尾数溢出，结果不一定溢出）	最高有效位有进位	右规
非规格化尾数	数值部分高位为0 右规或对阶时，右段有效位丢失	左规 尾数舍入

2. IEEE 754 标准规定的五种异常情况

①无效运算（无意义）
 – 运算时有一个数是非有限数，如： 加/ 减∞、0 x ∞、∞/∞等
 – 结果无效，如： 源操作数是NaN、0/0、x REM 0、∞REM y 等
②除以0（即：无穷大）
③数太大（阶上溢）: 对于SP，指阶码E >1111 1110 （指数大于127）
④数太小（阶下溢）: 对于SP，指阶码E < 0000 0001（指数小于-126）
⑤结果不精确（舍入时引起），例如1/3、1/10等不能精确表示成浮点数

上述情况硬件可以捕捉到，因此这些异常可设定让硬件处理，也 可设定让软件处理。让硬件处理时，称为硬件陷阱。

3.浮点数除0的问题

	#incldue 
	#incldue 
	
	int mian()
	{
		int a = 1,b = 0;
		printf("Divisionby zero:%d\n",a/b);
		getchar();
		return 0;
	}
	//运行结果异常
	
	int main()
	{
		double x = 1,y = -1.0,z = 0.0;
		printf(“Division by zero:%f   %f\n",x/z,y/z);
		getchar();
		return 0;
	}
	//运行结果:1.#INFOO , -1.#INFOO
	//浮点运算中，一个有限数除以0， 结果为正无穷大（负无穷大）

4. 浮点数加/减运

（1）浮点数加减法基本要点

（2）IEEE 754的舍入方式的说明

强迫结果为偶数：奇数+1，偶数舍去。最低位为0则舍掉多余位，最低位为1则进位1、使得最低位仍为0（偶数）。

（3）Extra Bits(附加位)

（4）Rounding Digits(舍入位)

（5）运算举例

（6）舍入举例

	#include  
	main() 
	{ 
		float a; 
		double b;
		a = 123456.789e4; 
		b = 123456.789e4; 
		printf(“%f/n%f/n”,a,b);
	} 
	
	/*运行结果如下： 
		1234567936.000000 
		1234567890.000000 
	*/

float可精确表示7个十进制有效数位，后面的数位是舍入后的结果， 舍入后的值可能会更大， 也可能更小.

5. C语言中的浮点数类型

• C语言中有float和double类型，分别对应IEEE 754单精度浮点数格式和双精度浮点数格式 。
• long double类型的长度和格式随编译器和处理器类型的不同而有所不同，IA-32中是80位扩展精度格式。

（1）各数据类型的有效位数

int	float	double
1S + 31位	1S + 8E + (23+1)位	1S + 11E + (52+1)位

（2）各类型转换情况

转换	结果
int --> float	不会发生溢出，但可能有数据被舍入
int / float --> double	因为double的有效位数更多， 故能保留精确值
double --> float / int	可能发生溢出，此外，由于有效位数变少，故可能被舍入
float / double --> int	因为int没有小数部分，所以数据可能会向0方向被截断

(数大——溢出，尾数长——舍入）

（3）浮点数比较运算举例

int x ; float f ; double d ;

//判断是否衡正确
x == (int)(float) x		//false  舍入
x == (int)(double) x		//true
f == (float)(double) f		//true
d == (float) d			//flase	溢出/舍入
f == -(-f);			//true
2/3 == 2/3.0			//false	整数相除-->整数/浮点数相除-->浮点数
d < 0.0    ((d*2) < 0.0)	//true
d > f      -f > -d		//true
d * d >= 0.0			//true
x*x>=0				//false	高n位舍入，低n位首位可能为1
(d+f)-d == f			//false	d很大，f很小，f对阶至高位全为0，则左=0，右=f

浮点数不适用加法结合律
$$\begin{gathered} x=–1.5x1038,y=1.5x1038,z=1.0 \\ (x+y)+z=(–1.5x1038+1.5x1038)+1.0=1.0 \\ x+(y+z)=–1.5x1038+(1.5x1038+1.0)=0.0 \end{gathered}$$

6. 浮点数运用举例

（1）Ariana火箭爆炸

  1996年6月4日，Ariana 5火箭初次航行，在发射仅仅37秒钟后 ，偏离了飞行路线，然后解体爆炸，火箭上载有价值5亿美元的 通信卫星。
  原因是在将一个64位浮点数转换为16位带符号整数时，产生了溢 出异常。溢出的值是火箭的水平速率，这比原来的Ariana 4火箭 所能达到的速率高出了5倍。在设计Ariana 4火箭软件时，设计 者确认水平速率决不会超出一个16位的整数，但在设计Ariana 5 时，他们没有重新检查这部分，而是直接使用了原来的设计。

（2）爱国者导弹定位错误

1991年2月25日，海湾战争中，美国在沙特阿拉伯达摩地区设置的爱国者 导弹拦截伊拉克的飞毛腿导弹失败，致使飞毛腿导弹击中了一个美军军营， 杀死了美军28名士兵。其原因是由于爱国者导弹系统时钟内的一个软件错 误造成的，引起这个软件错误的原因是浮点数的精度问题。

从上述结果可以看出：
  用32位定点小数表示0.1，比采用float精度高64倍
   用float表示在计算速度上更慢，必须先把计数值转换为 IEEE 754格式浮点数，然后再对两个IEEE 754格式的数相乘，故采用float比直接将两个二进制数相乘要慢

不能遇到小数就用浮点数表示，有些情况下（如需要将一个整 数变量乘以一个确定的小数常量），可先用一个确定的定点整 数常量与整数变量相乘，然后再通过移位运算来确定小数点