4-19容斥原理

容斥问题说简单点就是计数问题里面的重复和遗漏的问题。

热身题： ☆☆ 同学们一共50人参加体育比赛，羽毛球比赛的参加人数是30人，乒乓球比赛的参加人数是35人，请问：两个比赛都参加的有多少人？

例题一：☆☆☆  一个班有30人，完成作业的情况有三种，只完成语文的，只完成数学的，两种都完成的。 已知完成语文作业的20人，完成数学作业的23人。求有多少同学只完成了一种作业？

数形结合

例题二：☆☆☆ 一个班同学们完成作业的情况有四种，只完成语文的，只完成数学的，两种都完成的，两种都没做的。 已知完成语文作业的23人，完成数学作业的32人，两种都完成的8人，两种都没完成的5个，求班级一共有多少同学？

找准部分 不重不漏

例题三：☆☆☆ 一个班40位同学，完成语文作业的26人，完成数学作业的18人，两种都没完成的6个，求两种作业都完成的同学有多少人？

例题四：☆☆☆ 一个学校组织60位老师们去户外锻炼，报名去泉山公园的37人，报名云龙湖的42人，两个地方都没有去的8人，那么只报名其中一个地方的有多少人？

例题五：☆☆☆ 1到100中，是2或者5的倍数的数有多少个？

结合到数论知识的学习

例题六：☆☆☆ 1到100中，既不是3的倍数，也不是4的倍数的数有多少个？

3的倍数 4的倍数 12的倍数

例题七：☆☆☆☆ 编号是1到100的100盏走廊灯，第一次把编号是3的倍数的光拉一次开关，第二次把编号为5的倍数的灯拉一次开关。这时候仍然亮着的灯有多少盏？

例题八：☆☆☆ 在50个同学里，喜欢看电影的15人，不喜欢唱歌的25人，既喜欢看电影也喜欢唱歌的5人，那么只喜欢唱歌的多少人？

例题九：☆☆☆ 在40个同学里，每人都喜欢3种果汁的其中一种或几种。现在只知道喜欢喝橙汁的10人，15人不喜欢橙汁，却喜欢桃汁。只喜欢苹果汁的多少人？

例题十：☆☆☆ 学校组织娱乐体育比赛，有三个项目轮滑、游泳、羽毛球。其中参加轮滑比赛的20人，参加游泳比赛的25人，参加羽毛球的30人，同时参加轮滑和游泳的8人，同时参加轮滑和羽毛球的7人，同时参加游泳羽毛球的6人，三种都参加的4人，问参加体育比赛的一共多少人？

偶数层减，奇数层加

例题十一：☆☆☆☆ 学校组织老师参加暑期的培训，一共有90位老师，其中32人参加了专业培训，20人参加了技能培训，40人参加了文化培训，13人既参加了专业培训又参加了文化培训，8人既参加了技能又参加了专业培训，10人既参加了技能又参加了文化培训，而三个培训都没有参加的有25人，那么，三个培训都参加的有几个人？

90-25=（32+20+40）-（13+8+10）+x

奇数层相加，偶数层相减，正向思考，逆向解题。

例题十二：☆☆☆☆  同学们一共130人，其中70人参加了歌唱小组，80人参加了舞蹈小组，60人参加了模特小组，至少参加两个小组的有60人，参加了三个小组的有30人，那么有多少人没有参加任何小组？

70+60+80=210（人）
210-60=150（人）
150-30=120（人）
130-120=10（人）