电磁场的能量守恒和动量守恒

麦克斯韦方程组

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∇⋅E=ρε0∇×E=−∂B∂t∇⋅B=0∇×B=μ0j

∇⋅(∇×E)=∇⋅(−∂B∂t)=−∂(∇⋅B)∂t=0

这说明前两个方程是合理、自洽的.但是

∇⋅(∇×B)=∇⋅(μ0j)=μ0(−∂ρ∂t)

结果并不总是等于 0 ,为此，Maxwell引入位移电流 jd ，即

∇×B=μ0(j+jd)

由此

∇⋅(∇×B)=∇⋅[μ0(j+jd)]=μ0[∇⋅jd−∂ρ∂t]=μ0[∇⋅jd−ε0∂(∇⋅E)∂t]=0⇒jd≡ε0∂E∂t

所以方程组修改为

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∇⋅E=ρε0∇×E=−∂B∂t∇⋅B=0∇×B=μ0j+ε0μ0∂E∂t

洛伦兹力方程

宏观

F=qE+qv×B

微观

f=ρE+j×B

Maxwell方程组和洛伦兹力方程一起构成了经典电动力学的基础。

能量守恒

能量守恒的目标形式是

∭Wdτ−ddt∭ωdτ−∮S⋅dσ=∭Wdτ−ddt∭ωdτ−∭∇⋅Sdτ⇒W=−dωdt−∇⋅S

其中 W 是一定空间 V 内在合体能量增加率， ω 是电磁场能量密度， S 是能流密度.

W=E⋅j=E⋅(1μ0∇×B−ε0∂E∂t)=1μ0E⋅(∇×B)−ε0E⋅∂E∂t=1μ0[−∇⋅(E×B)+B⋅(∇×E)]−ε0E⋅∂E∂t=−1μ0∇⋅(E×B)+1μ0B⋅(∇×E)−ε0E⋅∂E∂t=−1μ0∇⋅(E×B)+1μ0B⋅(−∂B∂t)−ε0E⋅∂E∂t=−∇⋅[1μ0(E×B)]−12∂∂t[1μ0B2+ε0E2]

比较一下理想形式，可以得到

S=1μ0(E×B)ω=12(1μ0B2+ε0E2)

动量守恒

动量守恒的目标形式是

∭fdτ−ddt∭gdτ−∮T⃗ ⋅dσ=∭fdτ−ddt∭gdτ−∭∇⋅T⃗ dτ⇒f=−dgdt−∇⋅T⃗ 

其中 f 是一定空间 V 内在合体动能增加率， g 是电磁场动量密度， T⃗  是动量流密度.

f=ρE+j×B=ε0(∇⋅E)E+(1μ0∇×B−ε0∂E∂t)×B=ε0(∇⋅E)E+1μ0(∇×B)×B−ε0∂E∂t×B

利用Maxwell方程组的另外两个方程

0=1μ0(∇⋅B)B+ε0(∇×E)×E+ε0∂B∂t×E

两式相加，得

f=ε0[(∇⋅E)E+(∇×E)×E]+1μ0[(∇⋅B)B+(∇×B)×B]−ε0[∂E∂t×B−∂B∂t×E]

因为

∇⋅(EE)=(E⋅∇)E+(∇⋅E)E(∇×E)×E=(E⋅∇)E−12∇E2

所以

(∇⋅E)E+(∇×E)×E=∇⋅(EE)−12∇E2=∇⋅(EE)−12∇⋅(E2I⃗ )=∇⋅(EE−12E2I⃗ )

同理

(∇⋅B)B+(∇×B)×B=∇⋅(BB−12B2I⃗ )

又有

∂∂t(E×B)=∂E∂t×B+E×∂B∂t=∂E∂t×B−∂B∂t×E

所以得到

f=−ε0∂∂t(E×B)−∇⋅(12(ε0E2I⃗ +1μ0B2I⃗ )−ε0EE−1μ0BB)

比较一下理想形式，可以得到

g=ε0E×BT⃗ =12(ε0E2I⃗ +1μ0B2I⃗ )−ε0EE−1μ0BB

g=ε0μ0S=Sc2

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本篇主要参考俞允强《电动力学简明教程》