电磁场的能量守恒和动量守恒

麦克斯韦方程组

E=ρε0×E=BtB=0×B=μ0j

(×E)=(Bt)=(B)t=0

这说明前两个方程是合理、自洽的.但是

(×B)=(μ0j)=μ0(ρt)

结果并不总是等于 0 ,为此,Maxwell引入位移电流 jd ,即

×B=μ0(j+jd)

由此
(×B)=[μ0(j+jd)]=μ0[jdρt]=μ0[jdε0(E)t]=0jdε0Et

所以方程组修改为

E=ρε0×E=BtB=0×B=μ0j+ε0μ0Et

洛伦兹力方程

宏观

F=qE+qv×B

微观
f=ρE+j×B

Maxwell方程组和洛伦兹力方程一起构成了经典电动力学的基础。

能量守恒

能量守恒的目标形式是

WdτddtωdτSdσ=WdτddtωdτSdτW=dωdtS

其中 W 是一定空间 V 内在合体能量增加率, ω 是电磁场能量密度, S 是能流密度.

W=Ej=E(1μ0×Bε0Et)=1μ0E(×B)ε0EEt=1μ0[(E×B)+B(×E)]ε0EEt=1μ0(E×B)+1μ0B(×E)ε0EEt=1μ0(E×B)+1μ0B(Bt)ε0EEt=[1μ0(E×B)]12t[1μ0B2+ε0E2]

比较一下理想形式,可以得到

S=1μ0(E×B)ω=12(1μ0B2+ε0E2)

动量守恒

动量守恒的目标形式是

fdτddtgdτT⃗ dσ=fdτddtgdτT⃗ dτf=dgdtT⃗ 

其中 f 是一定空间 V 内在合体动能增加率, g 是电磁场动量密度, T⃗  是动量流密度.

f=ρE+j×B=ε0(E)E+(1μ0×Bε0Et)×B=ε0(E)E+1μ0(×B)×Bε0Et×B

利用Maxwell方程组的另外两个方程
0=1μ0(B)B+ε0(×E)×E+ε0Bt×E

两式相加,得

f=ε0[(E)E+(×E)×E]+1μ0[(B)B+(×B)×B]ε0[Et×BBt×E]

因为
(EE)=(E)E+(E)E(×E)×E=(E)E12E2

所以
(E)E+(×E)×E=(EE)12E2=(EE)12(E2I⃗ )=(EE12E2I⃗ )

同理
(B)B+(×B)×B=(BB12B2I⃗ )

又有
t(E×B)=Et×B+E×Bt=Et×BBt×E

所以得到

f=ε0t(E×B)(12(ε0E2I⃗ +1μ0B2I⃗ )ε0EE1μ0BB)

比较一下理想形式,可以得到
g=ε0E×BT⃗ =12(ε0E2I⃗ +1μ0B2I⃗ )ε0EE1μ0BB

g=ε0μ0S=Sc2


本篇主要参考俞允强《电动力学简明教程》

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