时间序列的预处理——纯随机性检验（一）

本文为本科课程笔记
原创思路是老师的~~
不知道会不会侵犯啥权益，所以声明一下~~
用作记录~~

2.2纯随机性检验

白噪声序列

• 纯随机序列也称为白噪声序列，满足如下两条性质$$(1)E{X}_t=\mu ,\forall t\in T$$$$(2)\gamma (t,s)=\{\begin{array}{ll}{\sigma }^2,& t=s\\ 0,& t=s\end{array},\forall t,s\in T$$
• 纯随机性：各序列值之间没有任何相关关系，即为“没有记忆”的序列$$\gamma (k)=0,\forall k\ne 0$$
• 方差齐性：根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的$$D(X_t)=\gamma (0)={\sigma }^2$$
  

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纯随机性检验

• 检验原理：Barlett定理
  • 如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为n的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均值为0，方差为序列观察期数倒数的正态分布。
  • $$\widehat{{\rho }_k}\sim N(0,\frac{1}{n}),\forall k\ne 0$$
• 假设条件：
  • 原假设：延迟期数小于或等于m期的序列值之间相互独立$$H_0:{\rho }_1={\rho }_2=\cdots ={\rho }_m=0,\forall m\ge 1$$
  • 备择假设：延迟期数小于或等于m期的序列值之间有相关性$$H_1:至少存在某个{\rho }_k\ne 0,\forall m\ge 1,k\le m$$
• 检验统计量
  • Q统计量$$Q=n\sum _{k=1}^m\widehat{{\rho }_k^2}\sim {\chi }^2(m)$$
  • LBQ统计量 $$LB=n(n+2)\sum _{k=1}^m(\frac{\widehat{{\rho }_k^2}}{n-k})\sim {\chi }^2(m)$$
• 判别原则
  • 当检验统计量大于${\chi }_{1-\alpha }^2(m)$分位点，或该统计量的$p$值小于$\alpha$ 时，则可以以$1-\alpha$的置信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列.