二分查找+细节讲解+java实现

注：本文摘抄于labuladong的算法小抄 仅用于个人学习，侵权删。

一、引言

• 二分查找并不简单，Knuth 大佬（发明 KMP 算法的那位）都说二分查找：思路很简单，细节是魔鬼。很多人喜欢拿整型溢出的 bug 说事儿，但是二分查找真正的坑根本就不是那个细节问题，而是在于到底要给 mid 加一还是减一，while 里到底用 <= 还是 <。

• 本文就来探究几个最常用的二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。而且，我们就是要深入细节，比如不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等。分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因，保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法。

二、二分查找框架

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = ...;

    while(...) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            ...
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = ...
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = ...
        }
    }
    return ...;
}

• 分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。本文都会使用 else if，旨在讲清楚，读者理解后可自行简化。
• 其中 … 标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。
• 另外声明一下，计算 mid 时需要防止溢出，代码中 left + (right - left) / 2 就和 (left + right) / 2 的结果相同，但是有效防止了 left 和 right 太大直接相加导致溢出。

三、场景一：寻找一个数

• 这个场景是最简单的，肯能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
    }
    return -1;
}

• 1、为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <？
  答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。
  这二者可能出现在不同功能的二分查找中。

  区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。

  我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。

  什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

    if(nums[mid] == target)
      return mid;
  

  但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？
  搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。

  while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

  while(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [left, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的

  当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

  	//...
    while(left < right) {
        // ...
    }
    return nums[left] == target ? left : -1;
  

• 2、为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

  答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。

  刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜索哪里呢？

  当然是去搜索 [left, mid-1] 或者 [mid+1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

• 3、此算法有什么缺陷？
  答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。

  比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

  这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。

  我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。

四、场景二：寻找左侧边界的二分搜索

• 以下是最常见的代码形式，其中的标记是需要注意的细节：

int left_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0;
    int right = nums.length; // 注意

    while (left < right) { // 注意
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            right = mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid; // 注意
        }
    }
    return left;
}

• 1、为什么 while 中是 < 而不是 <=?
  答：用相同的方法分析，因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。

  while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 为空，所以可以正确终止。

  PS：这里先要说一个搜索左右边界和上面这个算法的一个区别，也是很多读者问的：刚才的 right 不是 nums.length - 1 吗，为啥这里非要写成 nums.length 使得「搜索区间」变成左闭右开呢？

  因为对于搜索左右侧边界的二分查找，这种写法比较普遍，我就拿这种写法举例了，保证你以后遇到这类代码可以理解。你非要用两端都闭的写法反而更简单，我会在后面写相关的代码，把三种二分搜索都用一种两端都闭的写法统一起来，你耐心往后看就行了。

• 2、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
  答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：
  

• 对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。
  比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。
  再比如说 nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。
  综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]

  所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：

  while (left < right) {
   	//...
  }
  // target 比所有数都大
  if (left == nums.length) return -1;
  // 类似之前算法的处理方式
  return nums[left] == target ? left : -1;
  

• 3、为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？

  答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。

• 4、为什么该算法能够搜索左侧边界？

  答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：

    	  if (nums[mid] == target)
    	      right = mid;
  

  可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。
  - 5、为什么返回 left 而不是 right？

  答：都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。

• 6、能不能想办法把 right 变成 nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。

  答：当然可以，只要你明白了「搜索区间」这个概念，就能有效避免漏掉元素，随便你怎么改都行。下面我们严格根据逻辑来修改：

  因为你非要让搜索区间两端都闭，所以 right 应该初始化为 nums.length - 1，while 的终止条件应该是 left == right + 1，也就是其中应该用 <=：

  int left_bound(int[] nums, int target) {
  // 搜索区间为 [left, right]
  int left = 0, right = nums.length - 1;
  while (left <= right) {
      int mid = left + (right - left) / 2;
      // if else ...
  }	
  

  因为搜索区间是两端都闭的，且现在是搜索左侧边界，所以 left 和 right 的更新逻辑如下：

     if (nums[mid] < target) {
     // 搜索区间变为 [mid+1, right]
     	left = mid + 1;
     } else if (nums[mid] > target) {
     // 搜索区间变为 [left, mid-1]
     	right = mid - 1;
     } else if (nums[mid] == target) {
     // 收缩右侧边界
     	right = mid - 1;
     }
  

  由于 while 的退出条件是 left == right + 1，所以当 target 比 nums 中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界
  
  因此，最后返回结果的代码应该检查越界情况：

  if (left >= nums.length || nums[left] != target)
  	return -1;
  return left;
  

  至此，整个算法就写完了，完整代码如下：

  int left_bound(int[] nums, int target) {
      int left = 0, right = nums.length - 1;
      // 搜索区间为 [left, right]
      while (left <= right) {
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if (nums[mid] < target) {
              // 搜索区间变为 [mid+1, right]
              left = mid + 1;
          } else if (nums[mid] > target) {
              // 搜索区间变为 [left, mid-1]
              right = mid - 1;
          } else if (nums[mid] == target) {
              // 收缩右侧边界
              right = mid - 1;
          }
      }
      // 检查出界情况
      if (left >= nums.length || nums[left] != target)
          return -1;
      return left;
  }
  

  这样就和第一种二分搜索算法统一了，都是两端都闭的「搜索区间」，而且最后返回的也是 left 变量的值。只要把住二分搜索的逻辑，两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧。

五、场景三：寻找右侧边界的二分查找

• 类似寻找左侧边界的算法，这里也会提供两种写法，还是先写常见的左闭右开的写法，只有两处和搜索左侧边界不同，已标注：

int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;

    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    return left - 1; // 注意
}

• 1、为什么这个算法能够找到右侧边界？

  答：类似地，关键点还是这里：

  if (nums[mid] == target) {
  	left = mid + 1;
  }
  

  当 nums[mid] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。

• 2、为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。

  答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。
  至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：

  if (nums[mid] == target) {
      left = mid + 1;
      // 这样想: mid = left - 1
  }
  

  
  因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left-1] 可能是 target。
  至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。

• 3、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

  while (left < right) {
      // ...
  }
  if (left == 0) return -1;
  return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
  

• 4、是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？这样这三个写法就完全统一了，以后就可以闭着眼睛写出来了。
  答：当然可以，类似搜索左侧边界的统一写法，其实只要改两个地方就行了
  

六、总结：统一逻辑

• 来梳理一下这些细节差异的因果逻辑：

  第一个，最基本的二分查找算法：

  因为我们初始化 right = nums.length - 1
  
  所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
  
  所以决定了 while (left <= right)
  
  同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
  
  因为我们只需找到一个 target 的索引即可
  
  所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回
  

  第二个，寻找左侧边界的二分查找：

  因为我们初始化 right = nums.length
  
  所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
  
  所以决定了 while (left < right)
  
  同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
  
  因为我们需找到 target 的最左侧索引
  
  所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
  
  而要收紧右侧边界以锁定左侧边界
  

  第三个，寻找右侧边界的二分查找：

  因为我们初始化 right = nums.length
  
  所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
  
  所以决定了 while (left < right)
  
  同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
  
  因为我们需找到 target 的最右侧索引
  
  所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
  
  而要收紧左侧边界以锁定右侧边界
  
  又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
  
  所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一
  

• 对于寻找左右边界的二分搜索，常见的手法是使用左闭右开的「搜索区间」，我们还根据逻辑将「搜索区间」全都统一成了两端都闭，便于记忆，只要修改两处即可变化出三种写法：

  int binary_search(int[] nums, int target) {
      int left = 0, right = nums.length - 1; 
      while(left <= right) {
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if (nums[mid] < target) {
              left = mid + 1;
          } else if (nums[mid] > target) {
              right = mid - 1; 
          } else if(nums[mid] == target) {
              // 直接返回
              return mid;
          }
      }
      // 直接返回
      return -1;
  }
  
  int left_bound(int[] nums, int target) {
      int left = 0, right = nums.length - 1;
      while (left <= right) {
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if (nums[mid] < target) {
              left = mid + 1;
          } else if (nums[mid] > target) {
              right = mid - 1;
          } else if (nums[mid] == target) {
              // 别返回，锁定左侧边界
              right = mid - 1;
          }
      }
      // 最后要检查 left 越界的情况
      if (left >= nums.length || nums[left] != target)
          return -1;
      return left;
  }
  
  
  int right_bound(int[] nums, int target) {
      int left = 0, right = nums.length - 1;
      while (left <= right) {
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if (nums[mid] < target) {
              left = mid + 1;
          } else if (nums[mid] > target) {
              right = mid - 1;
          } else if (nums[mid] == target) {
              // 别返回，锁定右侧边界
              left = mid + 1;
          }
      }
      // 最后要检查 right 越界的情况
      if (right < 0 || nums[right] != target)
          return -1;
      return right;
  }
  

  如果以上内容你都能理解，那么恭喜你，二分查找算法的细节不过如此。

  通过本文，你学会了：

  • 1、分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if 方便理解。

  • 2、注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。

  • 3、如需定义左闭右开的「搜索区间」搜索左右边界，只要在 nums[mid] == target 时做修改即可，搜索右侧时需要减一。

  • 4、如果将「搜索区间」全都统一成两端都闭，好记，只要稍改 nums[mid] == target 条件处的代码和返回的逻辑即可。