Educational Codeforces Round 85 (Rated for Div. 2) E. Divisor Paths 题解（数论+思维）

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题目大意

给你一个整数D，有一个无向图，图的节点为 D 的因子，若 x % y == 0 && x / y 是一个质数，则节点 x 和 y 有一条无向边，边权为 是 x 的因子但不是 y 的因子的数的个数。有 q 次询问，每次询问输入两个节点 x、y 问节点 x 到节点 y 边权最小的路径有多少条，输出答案对 998244353 取模后的结果。

1 <= D <= 10^15; 1 <= q <= 3*10^5 ; 1 <= x,y <= D

题目思路

我看到题目一脸懵逼。。。。但是看了题解后豁然开朗

注意d最多只有30个质因子，怎么证明呢，最小的30个质因子相乘大于d，得证

首先我们考虑从x走到它的因子y，路径权值为d(x)-d(x1)+d(x1)-d(x2)…+d(xn)-d(y)=d(x)-d(y)。也就是说从一个点走到它的因子只与起点与终点有关。那么对于任意两个点，最短路径一定是从起点走到他们的gcd,然后走到终点。移动到lcm应该也是一样的，但是lcm可能不存在这个图中啊

因为每次只能除一个质数或乘一个质数，每个质数为一步，那么a到gcd(a,b）假设有m种质数，每种有cnt[i]个，那么排列组合的种数就是
sum!/(cnt[i]!cnt[i-1]!…)

代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define fi first
#define se second
#define debug printf("I am here\n");
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e3+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=998244353;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int t;
ll d,u,v;
ll fac[maxn],inv[maxn];
vector<ll> vec;//存质因子
ll gcd(ll a,ll b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
ll qpow(ll a,ll b){
    ll ans=1,base=a;
    while(b){
        if(b&2){
            ans=ans*base%mod;
        }
        b=b>>1;
        base=base*base%mod;
    }
    return ans;
}
void init(){
    for(ll i=2;i*i<=d;i++){
        bool flag=0;
        while(d%i==0){
            flag=1;
            d=d/i;
        }
        if(flag){
            vec.push_back(i);
        }
    }
    if(d!=1){
        vec.push_back(d);
    }
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=1000;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    }
    inv[1000]=qpow(fac[1000],mod-2);
    for(int i=999;i>=1;i--){
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    }
}
ll cal(ll x){
    int sum=0;
    ll ans=1;
    for(int i=0;i<vec.size();i++){
        int cnt=0;
        while(x%vec[i]==0){
            x=x/vec[i];
            cnt++;
            sum++;
        }
        if(cnt>0){
            ans=ans*inv[cnt]%mod;
        }
    }
    ans=ans*fac[sum]%mod;
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%lld%d",&d,&t);
    init();
    while(t--){
        scanf("%lld%lld",&u,&v);
        ll g=gcd(u,v);
        u=u/g,v=v/g;
        ll ans=cal(u)*cal(v)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}