离散数学学习笔记【第一篇】

本文所有内容来自上海科学技术文献出版社《离散数学》第一篇。

第一篇 数理逻辑

第一章 命题逻辑

1-1 命题及其表示法

具有确定真值的陈述句叫做命题。
命题有两种类型：不能分解为更简单的陈述语句的称为原子命题；由联结词，标点符号和原子命题复合构成的命题称为复合命题。
命题常用大写字母或带下标的大写字母或数字表示，如$A$，$B_i$，$[12]$等,这些符号称为命题标识符。

1-2 联结词

$P$	$Q$	$\neg P$	$P\wedge Q$	$P\vee Q$	$P\to Q$	$P\leftrightarrows Q$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$

1-3 命题公式与翻译

递归定义了合式公式（ $\text{wff}$ ）

1-4 真值表与等价公式

定义 1 - 4.1
在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。

定义 1 - 4.2
给定两个命题公式 $A$ 和 $B$ ，设 $P_1,P_2,\cdots ,P_n$ 为所有出现于 $A$ 和 $B$ 中的原子变元，若给 $P_1,P_2,\cdots ,P_n$ 任一组真值指派， $A$ 和 $B$ 的真值都相同，则称 $A$ 和 $B$ 是等价的或逻辑相等的。记作 $A\iff B$ 。

命题定律	表达式
对合律	$\neg \neg P\iff P$
幂等律	$P\vee P\iff P,P\wedge P\iff P$
结合律	$\begin{array}{r}(P\vee Q)\vee R\iff P\vee (Q\vee R)\\ (P\wedge Q)\wedge R\iff P\wedge (Q\wedge R)\end{array}$
交换律	$\begin{array}{r}P\vee Q\iff Q\vee P\\ P\wedge Q\iff Q\wedge P\end{array}$
分配律	$\begin{array}{r}P\vee (Q\wedge R)\iff (P\vee Q)\wedge (P\vee R)\\ P\wedge (Q\vee R)\iff (P\wedge Q)\vee (P\wedge R)\end{array}$
吸收律	$\begin{array}{r}P\vee (P\wedge Q)\iff P\\ P\wedge (P\vee Q)\iff P\end{array}$
德·摩根律	$\begin{array}{r}\neg (P\vee Q)\iff \neg P\wedge \neg Q\\ \neg (P\wedge Q)\iff \neg P\vee \neg Q\end{array}$
同一律	$P\vee F\text{F}F\iff P,P\wedge T\text{T}T\iff P$
零律	$P\vee T\text{T}T\iff T\text{T}T,P\wedge F\text{F}F\iff F\text{F}F$
否定律	$P\vee \neg P\iff T\text{T}T,P\wedge \neg P\iff F\text{F}F$

1-5 重言式与蕴含式

定义 1 - 5.1
给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为 $T\text{T}T$ ，则称该命题公式为重言式或永真公式。

定义 1 - 5.2
给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为 $F\text{F}F$ ，则称该命题公式为矛盾式或永假公式。

定理 1 - 5.1
任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个重言式。

定理 1 - 5.2
一个重言式，对同一分量都用任何合式公式置换，其结果仍为一重言式。

定理 1 - 5.3
设 $A$ 和 $B$ 为两个命题公式， $A\iff B$ 当且仅当 $A\leftrightarrows B$ 为一个重言式。

定义 1 - 5.3
当且仅当 $P\to Q$ 是一个重言式时，我们称“ $P$ 蕴含 $Q$ ”，并记作 $P\Rightarrow Q$ 。

定理 1 - 5.4
设 $P$ 和 $Q$ 为任意两个命题公式， $P\iff Q$ 的充分必要条件是 $P\Rightarrow Q$ 且 $Q\Rightarrow P$ 。

1-6 其他联结词

$P$	$Q$	$P\overline{\vee }Q$	$P\stackrel{c}{\to }Q$	$P\uparrow Q$	$P\downarrow Q$
$T$	$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$T$	$T$

$$\begin{gathered} P\overline{\vee }Q\iff (P\wedge \neg Q)\vee (\neg P\wedge Q) \\ P\stackrel{c}{\to }Q\iff P\wedge \neg Q \\ P\uparrow Q\iff \neg P\vee \neg Q \\ P\downarrow Q\iff \neg P\wedge \neg Q \end{gathered}$$

1-7 对偶与范式

定义 1 - 7.1
在给定的命题公式中，将联结词 $\vee$ 换成 $\wedge$ ，将 $\wedge$ 换成 $\vee$ ，若有特殊变元 $T\text{T}T$ 和 $F\text{F}F$ 亦相互取代，所得公式 $A^{\ast }$ 称为 $A$ 的对偶式。

定理 1 - 7.1
设 $A$ 和 $A^{\ast }$ 是对偶式， $P_1,P_2,\cdots ,P_n$ 是出现在 $A$ 和 $A^{\ast }$ 中的原子变元，则$$\begin{array}{r}\neg A(P_1,P_2,\cdots ,P_n)\iff A^{\ast }(\neg P_1,\neg P_2,\cdots ,\neg P_n)\\ A(\neg P_1,\neg P_2,\cdots ,\neg P_n)\iff \neg A^{\ast }(P_1,P_2,\cdots ,P_n)\end{array}$$

定理 1 - 7.2
设 $P_1,P_2,\cdots ,P_n$ 是出现在公式 $A$ 和 $B$ 中的所有原子变元，如果 $A\iff B$ ，则 $A^{\ast }\iff B^{\ast }$ 。

定义 1 - 7.2
一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有型式：$$A_1\wedge A_2\wedge \cdots \wedge A_n,(n⩾1)$$其中 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 都是由命题变元或其否定所组成的析取式。

定义 1 - 7.3
一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有型式：$$A_1\vee A_2\vee \cdots \vee A_n,(n⩾1)$$其中 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 都是由命题变元或其否定所组成的合取式。

定义 1 - 7.4
$n$ 个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。

定义 1 - 7.5
对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则该等价式称作原式的主析取范式。

定理 1 - 7.3
在真值表中，一个公式的真值为 $T\text{T}T$ 的指派所对应的小项的析取，即为此公式的主析取范式。

定义 1 - 7.6
$n$ 个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。

定义 1 - 7.7
对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则该等价式称作原式的主合取范式。

定理 1 - 7.4
在真值表中，一个公式的真值为 $F\text{F}F$ 的指派所对应的大项的合取，即为此公式的主合取范式。

例题 化 $(P\wedge Q)\vee (\neg P\wedge R)$ 为主合取范式和主析取范式。
解：
$$\begin{array}{rl}& (P\wedge Q)\vee (\neg P\wedge R)\\ \iff & (P\vee \neg P)\wedge (P\vee R)\wedge (Q\vee \neg P)\wedge (Q\vee R)\\ \iff & (P\vee R\vee (Q\wedge \neg Q))\wedge (\neg P\vee Q\vee (R\wedge \neg R))\wedge ((P\wedge \neg P)\vee Q\vee R)\\ \iff & (P\vee Q\vee R)\wedge (P\vee \neg Q\vee R)\wedge (\neg P\vee Q\vee R)\wedge (\neg P\vee Q\vee \neg R)\\ \iff & {\prod }_{2,3,5,7}\\ \iff & {\sum }_{0,1,4,6}\end{array}$$

1-8 推理理论

定义 1 - 8.1
设 $A$ 和 $C$ 是两个命题公式，当且仅当 $A\to C$ 为一重言式，即 $A\Rightarrow C$ ，称 $C$ 是 $A$ 的有效结论。或 $C$ 可由 $A$ 逻辑地推出。
设 $H_1,H_2,\cdots ,H_n,C$ 是命题公式，当且仅当 $H_1\wedge H_2\wedge \cdots \wedge H_n\Rightarrow C$ ，称 $C$ 是一组前提 $H_1,H_2,\cdots ,H_n$ 的有效结论。

判别有效结论的过程就是论证过程，基本方法为真值表法、直接证法和间接证法。

（1）真值表法

（2）直接证法

$P$ 规则：前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用。
$T$ 规则：在推导中，如果有一个或多个公式、重言蕴含着公式 $S$ ，则公式 $S$ 可以引入推导之中。

例题 证明 $(W\vee R)\to V,V\to C\vee S,S\to U,\neg C\wedge \neg U\Rightarrow \neg W$ 。
证明：
( 1 ) ¬ C ∧ ¬ U P ( 2 ) ¬ U T ( 1 ) I ( 3 ) S → U P ( 4 ) ¬ S T ( 2 ) , ( 3 ) I ( 5 ) ¬ C T ( 1 ) I ( 6 ) ¬ C ∧ ¬ S T ( 4 ) , ( 5 ) I ( 7 ) ¬ ( C ∨ S ) T ( 6 ) E ( 8 ) ( W ∨ R ) → V P ( 9 ) V → ( C ∨ S ) P ( 10 ) ( W ∨ R ) → ( C ∨ S ) T ( 8 ) , ( 9 ) I ( 11 ) ¬ ( W ∨ R ) T ( 7 ) , ( 10 ) I ( 12 ) ¬ W ∧ ¬ R T ( 11 ) E ( 13 ) ¬ W T ( 12 ) I \begin{aligned}&(1)\neg C \wedge \neg U &P\\ &(2)\neg U &T(1)I\\ &(3)S\rightarrow U &P\\ &(4)\neg S &T(2),(3)I\\ &(5)\neg C &T(1)I\\ &(6)\neg C \wedge \neg S &T(4),(5)I\\ &(7)\neg(C \vee S) &T(6)E\\ &(8)(W \vee R) \rightarrow V &P\\ &(9)V \rightarrow (C \vee S) &P\\ &(10)(W \vee R) \rightarrow (C \vee S) &T(8),(9)I\\ &(11)\neg(W \vee R) &T(7),(10)I\\ &(12)\neg W \wedge \neg R &T(11)E\\ &(13)\neg W &T(12)I \end{aligned} ​(1)¬C∧¬U(2)¬U(3)S→U(4)¬S(5)¬C(6)¬C∧¬S(7)¬(C∨S)(8)(W∨R)→V(9)V→(C∨S)(10)(W∨R)→(C∨S)(11)¬(W∨R)(12)¬W∧¬R(13)¬W​PT(1)IPT(2),(3)IT(1)IT(4),(5)IT(6)EPPT(8),(9)IT(7),(10)IT(11)ET(12)I​

（3）间接证法

定义 1 - 8.2
假设公式 $H_1,H_2,\cdots ,H_m$ 中的命题变元为 $P_1,P_2,\cdots ,P_n$ ，对于 $P_1,P_2,\cdots ,P_n$ 的一些真值指派，如果能使 $H_1\wedge H_2\wedge \cdots \wedge H_m$ 的真值为 $T\text{T}T$ ，则称公式 $H_1,H_2,\cdots ,H_m$ 是相容的。如果对于 $P_1,P_2,\cdots ,P_n$ 的每一组真值指派使得 $H_1\wedge H_2\wedge \cdots \wedge H_m$ 的真值均为 $F\text{F}F$ ，则称公式 $H_1,H_2,\cdots ,H_m$ 是不相容的。

要证 $H_1\wedge H_2\wedge \cdots \wedge H_m\Rightarrow C$ ，即证 $H_1,H_2,\cdots ,H_m$ 与 $\neg C$ 是不相容的 (将 $\neg C$ 作为 $P（附加条件）$)。

要证 $S\Rightarrow (R\to C)$ ，即证 $(S\wedge R)\Rightarrow C$ （ $CP$ 规则）。

第二章 谓词逻辑

2-1 谓词的概念与表示

我们用大写字母表示谓词，用小写字母表示客体名称，如 $A(b)$ 、 $B(a,b)$ 、 $L(a,b,c)$ 等。
单独一个谓词不是完整的命题，我们把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式，如果 $A$ 为 $n$ 元谓词， $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 是客体的名称，则 $A(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ 就可成为命题。

2-2 命题函数与量词

定义 2 - 2.1
由一个谓词和一些客体变元组成的表达式，称为简单命题函数。

命题函数确定为命题，与客体变元的论述范围有关。在命题函数中，客体变元的论述范围称作个体域。个体域可以是有限的，也可以是无限的，把各种个体域综合在一起作为论述范围的域称全总个体域。

引入两种量词，一个用符号 $(\forall x)$ 或 $(x)$ 表示，代表“对所有的 $x$ ”，称为全称量词；另一个用符号 $(\exists x)$ 表示，表示“存在一些 $x$ ”，称为存在量词。全称量词和存在量词同称为量词。

为了方便，我们将所有命题函数的个体域全部统一，一律使用全总个体域。

2-3 谓词公式与翻译

定义 2 - 3.1
谓词演算的合式公式，可由下述各条组成：
（1）原子谓词公式是合式公式。
（2）若 $A$ 是合式公式，则 $\neg A$ 是一个合式公式。
（3）若 $A$ 和 $B$ 都是合式公式，则 $(A\wedge B)$ 、 $(A\vee B)$ 、 $(A\to B)$ 和 $(A\leftrightarrows B)$ 是合式公式。
（4）如果 $A$ 是合式公式， $x$ 是 $A$ 中出现的任何变元，则 $(\forall x)A$ 和 $(\exists x)A$ 都是合式公式。
（5）只有经过有限次地应用规则(1),(2),(3),(4)得到的公式是合式公式。

2-4 变元的约束

给定 $\alpha$ 为一个谓词公式，其中有一部分公式形式为 $(\forall x)P(x)$ 或 $(\exists x)P(x)$ 。这里 $\forall$ 和 $\exists$ 后面所跟的 $x$ 叫做量词的指导变元或作用变元， $P(x)$ 叫做相应量词的作用域或辖域。在作用域中 $x$ 的一切出现，称为 $x$ 在 $\alpha$ 中的约束出现， $x$ 也称为被相应量词中的指导变元所约束。在 $\alpha$ 中除去约束变元以外所出现的变元称作自由变元。自由变元可看作是公式中的参数。

设 $P(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 是 $n$ 元谓词，它有 $n$ 个相互独立的自由变元，若对其中 $k$ 个变元进行约束，则成为 $n-k$ 元谓词。例如， $(\forall x)P(x,y,z)$ 是二元谓词， $(\exists y)(\forall x)P(x,y,z)$ 是一元谓词。

一个公式的约束变元所使用的名称符号是无关紧要的， $(\exists x)P(x)$ 和 $(\exists y)P(y)$ 意义相同。因此，我们可以对公式 $\alpha$ 中的约束变元更改名称符号，这种遵守一定规则的更改，称为约束变元的换名。其规则为：
（1）对于约束变元可以换名，其更改的变元名称范围是量词中的指导变元，以及该量词作用域中所出现的该变元，在公式的其余部分不变。
（2）换名时一定要更改为作用域中没有出现的变元名称。
举例来说，公式 $$(\forall x)(P(x)\to R(x,y))\wedge Q(x,y)$$ 可换名为 $$(\forall z)(P(z)\to R(z,y))\wedge Q(x,y)$$
对于公式中的自由变元，也允许更改，这种更改叫做代入。自由变元的代入，也需遵守一定的规则，这个规则叫做自由变元的代入规则，说明如下：
（1）对于谓词公式中的自由变元，可以作代入，代入时需对公式中出现该自由变元的每一处进行。
（2）用以代入的变元与原公式中的所有变元的名称不能相同。

2-5 谓词演算的等价式与蕴含式

定义 2 - 5.1
给定任何两个谓词公式 $\text{wff }A$ 和 $\text{wff }B$ ，设它们有共同的个体域 $E$ ，若对 $A$ 和 $B$ 的任一组变元进行赋值，所得命题的真值相同，则称谓词公式 $A$ 和 $B$ 在 $E$ 上是等价的，并记作 $A\iff B$ 。

定义 2 - 5.2
给定任意谓词公式 $\text{wff }A$ ，其个体域为 $E$ ，对于 $A$ 的所有赋值， $\text{wff }A$ 都为真，则称 $\text{wff }A$ 在 $E$ 上是有效的（或永真的）。

定义 2 - 5.3
一个谓词公式 $\text{wff }A$ ，如果在所有赋值下都为假，则称该 $\text{wff }A$ 为不可满足的。

定义 2 - 5.3
一个谓词公式 $\text{wff }A$ ，如果至少在一种赋值下为真，则称该 $\text{wff }A$ 为可满足的。

（1）命题公式的推广

命题演算中的等价公式表和蕴含式表都可推广到谓词演算中使用。例如$$\begin{gathered} (\forall x)(P(x)\to Q(x))\iff (\forall x)(\neg P(x)\vee Q(x)) \\ (\forall x)P(x)\vee (\exists y)R(x,y)\iff \neg (\neg (\forall x)P(x)\wedge \neg (\exists y)R(x,y)) \end{gathered}$$

（2）量词与联结词 $\neg$ 之间的关系

$$\begin{gathered} \neg (\forall x)P(x)\iff (\exists x)\neg P(x) \\ \neg (\exists x)P(x)\iff (\forall x)\neg P(x) \end{gathered}$$

约定出现在量词之前的否定不是否定量词而是否定被量化了的整个命题。

（3）量词作用域的扩张与收缩

量词的作用域中如果含有合取项或析取项，则当其中一项为命题时，可将该命题移至量词作用域之外，比如$$(\forall x)(A(x)\vee B)\iff ((\forall x)A(x)\vee B)$$因为在 $B$ 中不出现约束变元 $x$ 。类似的式子还有$$\begin{gathered} ((\forall x)A(x)\to B)\iff (\exists x)(A(x)\to B) \\ ((\exists x)A(x)\to B)\iff (\forall x)(A(x)\to B) \\ (B\to (\forall x)A(x))\iff (\forall x)(B\to A(x)) \\ (B\to (\exists x)A(x))\iff (\exists x)(B\to A(x)) \end{gathered}$$

（4）量词与命题联结词之间的一些等价式

$$\begin{gathered} (\forall x)(A(x)\wedge B(x))\iff (\forall x)A(x)\wedge (\forall x)B(x) \\ (\exists x)(A(x)\vee B(x))\iff (\exists x)A(x)\vee (\exists x)B(x) \end{gathered}$$

（5）量词与命题联结词之间的一些蕴含式

$$\begin{gathered} (\forall x)A(x)\vee (\forall x)B(x)\Rightarrow (\forall x)(A(x)\vee B(x)) \\ (\exists x)(A(x)\wedge B(x))\Rightarrow (\exists x)A(x)\wedge (\exists x)B(x) \\ (\forall x)(A(x)\to B(x))\Rightarrow (\forall x)A(x)\to (\forall x)B(x) \\ (\forall x)(A(x)\leftrightarrows B(x))\Rightarrow (\forall x)A(x)\leftrightarrows (\forall x)B(x) \end{gathered}$$

（6）多个量词的使用

$$\begin{gathered} (\forall x)(\forall y)A(x,y)\iff (\forall y)(\forall x)A(x,y) \\ (\exists x)(\exists y)A(x,y)\iff (\exists y)(\exists x)A(x,y) \\ \begin{array}{rl}(\forall x)(\forall y)A(x,y)& \Rightarrow (\exists y)(\forall x)A(x,y)\\ & \Rightarrow (\forall x)(\exists y)A(x,y)\\ & \Rightarrow (\exists x)(\exists y)A(x,y)\end{array} \end{gathered}$$

2-6 前束范式

定义 2 - 6.1
一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域，延申到整个公式的末尾，则该公式叫做前束范式。

定理 2 - 6.1
任意一个谓词公式，均和一个前束范式等价。

例题 化公式 $$(\forall x)(\forall y)((\exists z)(P(x,z)\wedge P(y,z))\to (\exists u)Q(x,y,u))$$ 为前束范式。
解：否定深入
$$\begin{array}{rl}原式& \iff (\forall x)(\forall y)(\neg (\exists z)(P(x,z)\wedge P(y,z))\vee (\exists u)Q(x,y,u))\\ & \iff (\forall x)(\forall y)(\forall z)(\exists u)(\neg P(x,z)\vee \neg P(y,z)\vee Q(x,y,u))\end{array}$$

定义 2 - 6.2
（定义了什么叫前束合取范式）

定理 2 - 6.2
每一个 $\text{wff }A$ 都可转化为与其等价的前束合取范式。

例题 化 $\text{wff }D$ ： $$(\forall x)\left[(\forall y)P(x)\vee (\forall z)q(z,y)\to \neg (\forall y)R(x,y)\right]$$ 为前束合取范式。
解：取消多余量词→换名→消去条件联结词→否定深入→量词推到最左边
$$\begin{array}{rl}D& \iff (\forall x)\left[P(x)\vee (\forall z)q(z,y)\to \neg (\forall y)R(x,y)\right]\\ & \iff (\forall x)\left[P(x)\vee (\forall z)q(z,y)\to \neg (\forall w)R(x,w)\right]\\ & \iff (\forall x)\left\{\neg [P(x)\vee (\forall z)q(z,y)]\vee \neg (\forall w)R(x,w)\right\}\\ & \iff (\forall x)[\neg P(x)\wedge (\exists z)\neg q(z,y)\vee (\exists w)\neg R(x,w)]\\ & \iff (\forall x)(\exists z)(\exists w)[(\neg P(x)\vee \neg R(x,w))\wedge (\neg q(z,y)\vee \neg R(x,w))]\end{array}$$

定义 2 - 6.3
（定义了什么叫前束析取范式）

定理 2 - 6.3
每一个 $\text{wff }A$ 都可转化为与其等价的前束析取范式。

2-7 谓词演算的推理理论

（1）全称指定规则，即 $US$ 规则。
$$\frac{(\forall x)P(x)}{\therefore P(c)}$$

（2）全程推广规则，即 $UG$ 规则。
$$\frac{P(x)}{\therefore (\forall x)P(x)}$$

（3）存在指定规则，即 $ES$ 规则。
$$\frac{(\exists x)P(x)}{\therefore P(c)}$$

（4）存在推广规则，即 $EG$ 规则。
$$\frac{P(c)}{\therefore (\exists x)P(x)}$$

例题 证明$$\begin{array}{rl}& (\forall x)(C(x)\to W(x)\wedge R(x))\wedge (\exists x)(C(x)\wedge Q(x))\\ & \Rightarrow (\exists x)(Q(x)\wedge R(x))\end{array}$$

证明：
$$\begin{array}{rlr}(1)& (\forall x)(C(x)\to W(x)\wedge R(x))& P\\ (2)& (\exists x)(C(x)\wedge Q(x))& P\\ (3)& C(a)\wedge Q(a)& ES(2)\\ (4)& C(a)\to W(a)\wedge R(a)& US(1)\\ (5)& C(a)& T(3)I\\ (6)& W(a)\wedge R(a)& T(4),(5)I\\ (7)& Q(a)& T(3)I\\ (8)& R(a)& T(6)\\ (9)& Q(a)\wedge R(a)& T(7),(8)I\\ (10)& (\exists x)(Q(x)\wedge R(x))& EG\end{array}$$