N个数依次入栈，出栈顺序有多少种

题目

N个数依次入栈，出栈顺序有多少种？

直接公式

令h(0)=1,h(1)=1，卡特兰数满足递推式： h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如：
h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2，
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
递推关系的另类解为：h(n)=C(2n,n)-C(2n,n+1)(n=1,2,3,...)

常规分析

1) 首先，我们设f(n)代表序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定第一个出栈的序数是k。

2) 第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列：其中一个是1~k-1，序列个数为k-1；另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。

3) 此时，我们若把k视为一个确定的序数，那么根据乘法原理，f(n)的问题就等价于 序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的出栈组合为 f(k-1)×f(n-k)。

4) 而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：
f(n)=f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+……+f(n-1)f(0)。

5) 看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为:
f(n)=h(n)=C(2n,n)/(n+1)=C(2n,n)-C(2n,n+1), (n=1，2，3，……)。最后，令f（0）=1，f（1）=1。