Fibonacci数列的幂和

题目:http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=5237


题意:给定,其中,求  的值。


分析:嗯,这道题貌似有难度,如果比较小的话我们可以构造矩阵,实际上这样做也挺麻烦的。

     以前我们做一个大Fibonacci数列模一个大素数都是用矩阵,当然这里素数满足条件:5是模这个素数的二

     次剩余,那么现在要求不要用矩阵来计算这个结果呢?那就是今天我要讨论的问题,本题也是基于这种思路。

 

     本题我们可以直接利用Fibonacci数列的公式进行计算。因为我们知道Fibonacci数列的公式为:


      


     虽然公式中含有根号,但是我们知道是一个整数,而且5是模1000000009的二次剩余。那么可以通过逆元

     和二次剩余的转化来做。比如就可以用中的来代替。


     为了方便表示,我们令:


     


     那么得到


     


     把按照二项式展开得到


     


     对于每一个都这样表示,那么相同的合并后是等比数列,比如对于所有系数为合并后为


     , 其中


     所以到了这里本题就明确了,枚举每一个0,依次计算即可。


     当然对于,我们可以阶乘预处理然后求逆元,至于同样预处理,这样时间少很多。


     可以看出本题条件好在1000000009是素数,而且5是模1000000009的二次剩余。


     经计算2模1000000009的逆元是500000005,而的一个解为383008016


     也就是说对于


     

      

     同理,对于


     


     嗯,貌似还有一个问题没有处理,t = 1时咋办? 这个很简单啦,不用等比求和公式即可。其实吧,这里面

     我们还可以注意到,也可以进一步优化,读者自己体会,就说到这里。


代码:

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100005;
const LL MOD = 1000000009;

LL fac[N],A[N],B[N];

void Init()
{
    fac[0] = 1;
    for(int i=1; i>= 1;
        a = a * a % MOD;
    }
    return ans;
}

LL Solve(LL n,LL k)
{
    LL ans = 0;
    for(int r=0; r<=k; r++)
    {
        LL t = A[k-r] * B[r] % MOD;
        LL x = fac[k];
        LL y = fac[k-r] * fac[r] % MOD;
        LL c = x * quick_mod(y,MOD-2,MOD) % MOD;
        LL tmp = t * (quick_mod(t,n,MOD) - 1) % MOD * quick_mod(t-1,MOD-2,MOD) % MOD;
        if(t == 1) tmp = n % MOD;
        tmp = tmp * c % MOD;
        if(r & 1) ans -= tmp;
        else      ans += tmp;
        ans %= MOD;
    }
    LL m = quick_mod(383008016,MOD-2,MOD);
    ans = ans * quick_mod(m,k,MOD) % MOD;
    ans = (ans % MOD + MOD) % MOD;
    return ans;
}

int main()
{
    int T;
    LL n,k;
    Init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        cin>>n>>k;
        cout<




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