F.Fraction Construction Problem(exgcd&数论)

F.Fraction Construction Problem(exgcd&数论)

题意：给定正整数$a,b$，构造出正整数$c,d,e,f$，满足$\frac{c}{d}-\frac{e}{f}=\frac{a}{b},(d,f<b)$

思路：$exgcd+$数论。

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$p1:$ $a,b$不互质时，即$gcd(a,b)>1$。

我们可以构造这样一个式子：$\frac{a+b}{b}-1=\frac{a}{b}$

令$b^{\prime }=\frac{b}{g},a^{\prime }=\frac{a}{g}$。

$\frac{a+b}{b}-1=\frac{a}{b}=\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}$

$\frac{a+b}{g}=\frac{\frac{a+b}{g}}{\frac{b}{g}}$

即$c=\frac{a+b}{g},d=\frac{b}{g},e=f=1$。

这样能满足$1\le d,f<b$。

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$p2:a,b$互质且$b$质因数的种类只有一个。

这种情况是无解的，因为$d,f<b$，所以$d,f$的分解质因数$p_k$的个数都小于$b$的$p_k$个数，所以左边$df$通分后，分母不可能等于$b$。

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$p3:$$a,b$互质且$b$质因数种类不只一个。

显然我们可以构造出互质的两个数$d,f$满足$d\times f=b$。

这样有$\frac{cf-de}{df}=\frac{a}{b}$。

即$cf-de=a$，在$f,d,a$已知下求$c,d$，这显然是扩展欧几里得。

且肯定有整数解，因为$d,f$互质，说明$gcd(d,f)=1,1|a$则必定有整数解。

接下来套板子就可以了 ，注意是求正整数解，所以当$c$为负数时要将其变为正整数。

可能有人会问$c$为正数时，能不能保证$e$也是正数呢，当然可以。

因为$f{c}_1-d{e}_1=1$，显然$c_1$为正数，因为$f,d$为正数，显然$e_1$为正数。

即：$c=c_1\times a,e=e_1\times a$都为正数。

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e6+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
int a,b,p[N],vis[N],ss[N];
void pre(){
    int n=2e6,cnt=0;
    ss[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i])
            p[cnt++]=i,ss[i]=i;
    for(int j=0;j<cnt&&i*p[j]<=n;j++){
        vis[i*p[j]]=1,ss[i*p[j]]=p[j];
        if(i%p[j]==0) break;
    }
     }
}
template<class T>
void exgcd(T a,T b,T &x,T &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
}
int main(){
    int t;
    pre();
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        int g=__gcd(a,b);
        if(g>1){
        printf("%d %d 1 1\n",(a+b)/g,b/g);  //不互质.
        continue;
        }
        ll f=b,d=1;
        while(b>1&&f%ss[b]==0) f/=ss[b],d*=ss[b];
        if(f==b||f==1) puts("-1 -1 -1 -1");
        else {
        ll c,e;
        exgcd(f,d,c,e);
        if(c<0)
        c=(c%d+d)%d,e=(1-f*c)/d;
        c*=a,e*=a;
        printf("%lld %lld %lld %lld\n",c,d,-e,f);
    }
    }
    return 0;
}