B.Basic Gcd Problem(质因数分解）

B.Basic Gcd Problem(质因数分解）

思路：考虑$c$的贡献次数，我们最后的答案肯定是：$c^{cnt}$形式，所以我们只需求出$cnt$。

$ep:n=16,c=5$。

显然$f_c(16)=c\times max\{f_c(i)\},i\in \{1,2,4,8\}$。

$f_c(1)=1$

$f_c(2)=c\times max\{f_c(i)\},i\in \{1\}\to f_c(2)=c$

$f_c(4)=c\times max\{f_c(i)\},i\in \{1,2\}\to f_c(4)=c^2$。

$f_c(8)=c\times max\{f_c(i)\},i\in \{1,2,4\}\to f_c(8)=c^3$。

所以$f_c(16)=c^4,cnt=4$。

看了上面这个样例你可能已经发现了$cnt$跟因数有关系。

因为我们要让$cnt$尽可能大，所以我们需要尽可能多的进行相乘转换。

我们换个方式考虑：$n=16=2^4$。

$1\times 2=2,2\times 2=4,4\times 2=8,8\times 2=16$。

这样是不是很显然了。

再来：$ep:n=60=2^2\times 3\times 5$。

$1\times 2=2，2\times 2=4,4\times 3=12,12\times 5=60$。

显然按照质因数分解后的个数依次相乘$cnt$是最大的。

即答案就是质因数个数之和。

接下来就很简单了，可以考虑直接暴力$O(\sqrt{n})$一边分解一边计算贡献，或者预处理一波每个数的对应素数。$O(logn)$

总复杂度：$O(T\sqrt{n})$或$O(nloglogn+Tlogn)$

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e3+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n,c;
        scanf("%d%d",&n,&c);
        ll ans=1;
        for(int i=2;i*i<=n;i++){
             while(n%i==0){
                 n/=i;
                 ans=ans*c%mod;
             }
        }
        if(n!=1) ans=ans*c%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
bool a[N];
int b[N],p[N];
void Ess(){
     int cnt=0;
     int n=1e6;
     a[1]=true;
     for(int i=2;i<=n;i++)
     {
        if(!a[i]) p[cnt++]=i,b[i]=i;
        for(int j=0;j<cnt&&i*p[j]<=n;j++)
        {
            a[i*p[j]]=true,b[i*p[j]]=p[j];
            if(i%p[j]==0) break;
        }
     }
}
ll ksm(ll a,ll n){
    ll ans=1;
    while(n){
        if(n&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    int t;
    Ess();
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        ll n,c;
        scanf("%lld%lld",&n,&c);
        if(!a[n]) printf("%lld\n",c%mod);
        else {
            int cnt=0;
            while(n!=1){
                n/=b[n];
                cnt++;
            }
            printf("%lld\n",ksm(c,cnt));
        }
    }
    return 0;
}