CF888F Connecting Vertices

一、题目

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二、解法

一开始有一个很直接的想法，设$dp[i][j]$为建出区间$[i,j]$的生成树的方案，转移：

• 选中间的一个点作为桥梁：$\sum dp[i][k]\times dp[k][j]$
• 本来是两部分，连了$[i,j]$之后合并了：$\sum dp[i][k]\times dp[k+1][j]$

但是这种$dp$处理不了$(1,2)(2,3)(3,4)$这种连边情况，会算重。可以加一维，$dp[i][j][0/1]$表示$[i,j]$之间是$/$否强制连边，转移：

• $dp[i][k][1]=\sum dp[i][k][0]\times (dp[k][j][0]+dp[k][j][1])$
• $dp[i][k][0]=\sum (dp[i][k][0]+dp[i][k][1])\times (dp[k+1][j][0]+dp[k+1][j][1])$

转移还有一些限制条件，需要注意一下。

#include 
const int M = 505;
const int MOD = 1e9+7;
#define int long long
int read()
{
    int x=0,flag=1;char c;
    while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
    while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*flag;
}
int n,a[M][M],dp[M][M][2];
signed main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			a[i][j]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		dp[i][i][0]=1;
	for(int i=n;i>=1;i--)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			for(int p=i;p<=j;p++)
			{
				if(a[i][j] && p<j)
				{
					dp[i][j][0]+=(dp[i][p][0]+dp[i][p][1])*(dp[p+1][j][0]+dp[p+1][j][1])%MOD;
					dp[i][j][0]%=MOD;
				}
				if(p>i && p<j)
				{
					dp[i][j][1]+=dp[i][p][0]*(dp[p][j][0]+dp[p][j][1])%MOD;
					dp[i][j][1]%=MOD;
				}
			}
	printf("%lld\n",(dp[1][n][0]+dp[1][n][1])%MOD);
}