「LOJ2267」「SDOI2017Round2」龙与地下城

题目描述

小 Q 同学是一个热爱学习的人，但是他最近沉迷于各种游戏，龙与地下城就是其中之一。 在这个游戏中，很多场合需要通过掷骰子来产生随机数，并由此决定角色未来的命运，因此骰子堪称该游戏的标志性道具。

骰子也分为许多种类，比如 4 面骰、6 面骰、8 面骰、12 面骰、20 面骰，其中 20 面骰用到的机会非常多。当然，现在科技发达，可以用一个随机数生成器来取代真实的骰子，所以这里认为骰子就是一个随机数生成器。

在战斗中，骰子主要用来决定角色的攻击是否命中，以及命中后造成的伤害值。举个例子，假设现在已经确定能够命中敌人，那么 YdX Y d X （也就是掷出 Y Y 个 X X 面骰子之后所有骰子显示的数字之和）就是对敌人的基础伤害。在敌人没有防御的情况下，这个基础伤害就是真实伤害。

众所周知，骰子显示每个数的概率应该是相等的，也就是说，对于一个 X X 面骰子，显示
0,1,2…X−1 0 , 1 , 2 … X − 1 中每一个数字的概率都是 1X 1 X ​​ 。

更形式地说，这个骰子显示的数 W W 满足离散的均匀分布，其分布列为

W W	0 0	1 1	2 2	… …	X−1 X − 1
P P	1X 1 X	1X 1 X	1X 1 X	… …	1X 1 X

除此之外还有一些性质

W W 的一阶原点矩（期望）为

v1(W)=E(W)=∑i=0X−1iP(W=i)=X−12 v 1 ( W ) = E ( W ) = ∑ i = 0 X − 1 i P ( W = i ) = X − 1 2

​​
W W 的二阶中心矩（方差）为

μ2(W)=E((W−E(W))2)=∑i=0X−1(i−E(W))2P(W=i)=X2−112 μ 2 ( W ) = E ( ( W − E ( W ) ) 2 ) = ∑ i = 0 X − 1 ( i − E ( W ) ) 2 P ( W = i ) = X 2 − 1 12

​​
言归正传，现在小 Q 同学面对着一个生命值为 A A 的没有防御的敌人，能够发动一次必中的 YdX Y d X 攻击，显然只有造成的伤害不少于敌人的生命值才能打倒敌人。但是另一方面，小 Q 同学作为强迫症患者，不希望出现 overkill，也就是造成的伤害大于 B B 的情况，因此只有在打倒敌人并且不发生 overkill 的情况下小 Q 同学才会认为取得了属于他的胜利。
因为小 Q 同学非常谨慎，他会进行 10 次模拟战，每次给出敌人的生命值 A A 以及 overkill 的标准 B B ，他想知道此时取得属于他的胜利的概率是多少，你能帮帮他吗？

输入格式

第一行是一个正整数 T T ，表示测试数据的组数。
对于每组测试数据，第一行是两个整数 X X 、 Y Y ，分别表示骰子的面数以及骰子的个数。
接下来 10 10 行，每行包含两个整数 A A 、 B B ，分别表示敌人的生命值 A A 以及 overkill 的标准 B B 。

输出格式

对于每组测试数据，输出 10 10 行，对每个询问输出一个实数，要求绝对误差不超过 0.013579 0.013579 ，也就是说，记输出为 a a ，答案为 b b ，若满足 |a−b|≤0.013579 | a − b | ≤ 0.013579 ，则认为输出是正确的。

样例

样例输入

1
2 19
0 0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9

样例输出

0.000002
0.000038
0.000364
0.002213
0.009605
0.031784
0.083534
0.179642
0.323803
0.500000

数据范围与提示

对于 100% 100 % 的数据， T≤10 T ≤ 10 ， 2≤X≤20 2 ≤ X ≤ 20 ， 1≤Y≤200000 1 ≤ Y ≤ 200000 ， 0≤A≤B≤(X−1)Y 0 ≤ A ≤ B ≤ ( X − 1 ) Y ，保证满足 Y>800 Y > 800 的数据不超过 2 2 组。

题解

应用中心极限定理 。中心极限定理 - 维基百科

设随机变量 X1,X2,⋯,Xn X 1 , X 2 , ⋯ , X n 独立同分布， 且具有有限的数学期望和方差 E(Xi)=μ E ( X i ) = μ ， D(Xi)=σ2≠0(i=1,2,⋯,n) D ( X i ) = σ 2 ≠ 0 ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) 。记
X¯=1n∑ni=1Xi X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n X i ， ζn=X¯−μσ/n√ ζ n = X ¯ − μ σ / n ，则 limn→∞P(ζn≤z)=Φ(z) lim n → ∞ P ( ζ n ≤ z ) = Φ ( z ) 。
其中 Φ(z) Φ ( z ) 是标准正态分布的分布函数。

这个定理的含义是： n n 个独立同分布，且具有有限的数学期望 μ μ 和方差 σ2 σ 2 的随机变量，他们的平均值的分布函数在 n→∞ n → ∞ 时无限近似于期望为 μ μ ，方差为 σ2n√ σ 2 n 的正态分布。

考虑到题目要求的精度误差十分宽松，我们考虑在 Y Y 比较大的时候用正态分布函数的积分来近似答案。

由于正态分布函数的概率密度函数

Φ(x)=1σ2π−−√e−(x−μ)22σ2 Φ ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2

的不定积分不是初等函数，所以考虑自适应辛普森积分。函数是光滑的，所以误差很小。

有一点需要注意：由于峰比较窄，积分区间比较大的时候可能出现 l,3l+r4,l+r2,l+3r4,r l , 3 l + r 4 , l + r 2 , l + 3 r 4 , r 五处的函数值都几乎为零，但是峰在积分区间内的情况，这会导致答案错误。一种方法是分成若干个小的区间分别进行辛普森积分，第二种方式是只计算 [A,B]∩[μ−3σ,μ+3σ] [ A , B ] ∩ [ μ − 3 σ , μ + 3 σ ] 的积分（因为正态分布函数在 [μ−3σ,μ+3σ] [ μ − 3 σ , μ + 3 σ ] 外的比率只占不到 0.3% 0.3 % ，可以忽略不计）, 还有一种方法是直接使用误差函数 erf(x)=2π√∫x0e−t2dt e r f ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t 直接计算（需要C++11）。

My Code

#include 
#define pi acos(-1)
#define eps 1e-15

using namespace std;
int n, m;
double f[2][32005], g[2][32005];
void solve1(){
    int p = 0, q = 1;
    f[p][0] = 1; g[p][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 0; j <= (m - 1) * i; j ++){
            double tmp = g[p][min(j, (m - 1) * (i - 1))]; if(j >= m) tmp -= g[p][j - m];
            f[q][j] = tmp / m; g[q][j] = f[q][j]; if(j > 0) g[q][j] += g[q][j - 1];
        //  printf("%d %d %.6lf\n", i, j, f[q][j]);
        }
        swap(p, q);
    }
    for(int i = 1; i <= 10; i ++){
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        double ans = g[p][b]; if(a != 0) ans -= g[p][a - 1];
        printf("%.6lf\n", ans); 
    }
}
double mu, sigma, pi2;
inline double sqr(double x) {return x * x;}
inline double F(double x){
//  printf("%.10lf %.10lf\n", x, exp(-sqr(x - mu) / 2 / sqr(sigma)) / pi2 / sigma);
    return exp(-sqr(x - mu) / 2 / sqr(sigma)) / pi2 / sigma;
}
double cal(double l, double r){
    double mid = (l + r) / 2;
    return (r - l) / 6 * (F(l) + 4 * F(mid) + F(r));
}
double simpson(double l, double r, double cur){
    double mid = (l + r) / 2;
    double cl = cal(l, mid);
    double cr = cal(mid, r);
//  printf("%.11lf %.11lf %.11lf %.11lf %.11lf %.11lf\n", l, r, cl, cr, cur, fabs(cur - cl - cr));
    if(fabs(cur - cl - cr) < eps) return cur;
    return simpson(l, mid, cl) + simpson(mid, r, cr);
}

void solve2(){
    mu = 1.0 * (m - 1) / 2.0 * n;
    sigma = sqrt(n * 1.0 * (m * m - 1.0) / 12.0);
    //printf("%.6lf %.6lf\n", mu, sigma);
    pi2 = sqrt(2.0 * pi);
        for(int i = 1; i <= 10; i ++){
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        double l = max((double)a, mu - 3 * sigma);
        double r = min((double)b, mu + 3 * sigma); 
        double ans = 0;
        if(l < r) ans = simpson(l, r, cal(l, r));
        printf("%.6lf\n", ans);
    }
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d%d", &m, &n);
        if(n <= 1600){
            solve1();
        }else{
            solve2();
        } 
    }   
    return 0;
}