区间DP | 1：矩阵链乘问题（含优化） —— 例题：矩阵链乘、合并石子

矩阵链乘法问题： 给定 n 个矩阵的链 ，矩阵 Ai 的规模为  。求完全括号化方案，使得计算乘积A1A2...An所需要标量的乘法次数最少。

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目录

一、算法剖析

1、最优括号化方案的结构特征

2、 一个递归的求解方案

二、算法实现

1、计算最优代价

暂未优化的方法 —— 时间复杂度为 

优化后的方法 —— 时间复杂度降至 

2、构造最优解

三、例题

1、矩阵链乘问题

完整AC代码1：（未优化的时间复杂度  ）

完整AC代码2：（优化的时间复杂度  ） 

2、合并石子

完整AC代码1：（未优化的时间复杂度 ）

完整AC代码2：（优化的时间复杂度  ） 

end 

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两个矩阵 A 和 B 只有相容，即 A 的列数等于 B 的行数时，才能相乘。如果 A 是 p×q 矩阵 ，B 是 q×r 矩阵，那么乘积 C 是 p× r 矩阵。计算 C 的进行了 pqr 次乘法运算。我们采用乘法进行的次数来表示计算的代价。 

对于多个矩阵连乘的问题，我们称作矩阵链乘问题。矩阵的乘法满足结合律，因此任何加括号的方法并不会影响多个矩阵相乘的结果。但不同的加括号的方案（改变计算顺序）会影响矩阵链乘法计算的代价：

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一、算法剖析

1、最优括号化方案的结构特征

动态规划方法的第一步是寻找最优子结构，然后就可以利用这种子结构，从子问题的最优解构造出原问题的最优解。

（为方便起见，我们用  表示的乘积结果矩阵）

• 从整体往局部看：对于每一个矩阵链 ，如果对其括号化，我们应该在某两个矩阵 与 之间划分开，然后我们再讨论 和的括号化。
• 再从局部往整体看：计算 的代价 = 计算 的代价 + 计算  的代价 + 计算  的代价。

因此，为了构造一个矩阵链  乘法问题的最优解，我们可以将问题分解成两个子问题:  和  最优化括号问题。求出子问题的最优解后，再将子问题的最优解组合起来。

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2、 一个递归的求解方案

• 矩阵的规模对应存储在一维数组 p[0..n] 中，矩阵  的规模为 。
• 计算的代价对应储存在二维数组 ans[1..n, 1..n] 中，我们用 ans[i, j] 表示矩阵  的最小计算代价，那么原问题的最小计算代价最终就在 ans[1, n] 内。 
• 最优分割点对应储存在二维数组 divide[1..n, 1..n] 中，我们用 divide[i, j] 记录最优代价 ans[i, j] 对应的最优分割点 d。（此数组在打印最优结构时十分有用）

根据上述最优括号化方案的结构特征，我们可以列出状态转移方程：

• 当 i = j 时： 
• 当 i < j 时： 

ps：在定义时将 ans数组全部初始化为0。

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二、算法实现

1、计算最优代价

从算法剖析中已知，本问题需要自底向上的方法：先处理好子矩阵链的最优问题，再总合起来。

那么我们实现时：应该从长度为2的矩阵链开始讨论，然后再在此基础上讨论长度为3的矩阵链...最终讨论长度的n的矩阵链，即得到答案。在某个已确定长度的讨论中，不可以漏去情况，不然会对最优值有影响。

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暂未优化的方法 —— 时间复杂度为 

那么我们的循环结构应该是这样：

• 第一层循环：长度 l = 2..n
• 第二层循环：讨论每个长度为 l 的矩阵链 ：i = 1..n - l +1， j = i + l + 1
• 第三层循环：确定最优分割点 k = i..j-1

/* 计算n元矩阵链p的最优代价
 * 动态规划的每一步结果储存在 ans与 divide中 */
void MatrixChainOrder(int p[], int n) {
    /* 矩阵链长度为2到n */
    for (int l = 2; l <= n; l++) {
        /* 讨论长度为l的矩阵链A[i..j] */
        for (int i = 1; i <= n - l + 1; i++) {
            int j = i + l - 1;
            ans[i][j] = INT_MAX;
            /* 依次讨论每一个分割点d:将矩阵链A[i..j]分成A[i..d]和 A[d+1..j] */
            for (int temp, d = i; d < j; d++) {
                temp = ans[i][d] + ans[d + 1][j] + p[i - 1] * p[d] * p[j];
                /* 记录下矩阵链A[i..j]最小的情况 */
                if (temp < ans[i][j]) {
                    ans[i][j] = temp;
                    divide[i][j] = d;
                }
            }
        }
    }
}

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优化后的方法 —— 时间复杂度降至 

上面基本方法的三层循环不可避免，但是可大大削减第三层循环的遍历次数，使得时间复杂度降至 。根据矩阵链乘问题模型的特点，其动态规划求解可以使用四边形不等式优化。（链接里有详细的优化原理、时间复杂度的证明过程)

最佳决策点满足如此关系：，所以我们的第三层循环可以优化为：在特定区间 [ divide[ i ][ j -1], divide[i +1][ j ] ]内遍历，其遍历范围远远小于n。

ps：要注意边界情况，需要预先将divide的初值准备好。

/* 计算n元矩阵链p的最优代价
 * 动态规划的每一步结果储存在 ans与 divide中 */
void MatrixChainOrder(int p[], int n) {
    /* 初始化divide数组 */
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        divide[i][i] = i;
    /* 矩阵链长度为2到n */
    for (int l = 2; l <= n; l++) {
        /* 讨论长度为l的矩阵链A[i..j] */
        for (int i = 1; i <= n - l + 1; i++) {
            int j = i + l - 1;
            ans[i][j] = INT_MAX;
            /* 在特定区间内：依次讨论每一个分割点d，将矩阵链A[i..j]分成A[i..d]和 A[d+1..j] */
            for (int temp, d = divide[i][j - 1]; d <= divide[i + 1][j]; d++) {
                temp = ans[i][d] + ans[d + 1][j] + p[i - 1] * p[d] * p[j];
                /* 记录下矩阵链A[i..j]最小的情况 */
                if (temp < ans[i][j]) {
                    ans[i][j] = temp;
                    divide[i][j] = d;
                }
            }
        }
    }
}

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2、构造最优解

我们在二维数组 divide[i, j] 中已经记录了  的最优分界点，由于矩阵链的最优划分可以分解为子链的最优划分，故我们可以递归地打印出来。

/* 根据divide数组，输出A[i..j]的最优情况 */
void PrintDivide(int i, int j) {
    if (i == j)
        printf("A%d", i);
    else {
        int d = divide[i][j];  //找到分界点
        printf("(");
        PrintDivide(i, d);
        PrintDivide(d + 1, j);
        printf(")");
    }
}

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三、例题

1、矩阵链乘问题

成绩	10	开启时间	2020年03月10日 星期二 07:55
折扣	0.8	折扣时间	2020年04月7日 星期二 23:55
允许迟交	否	关闭时间	2020年04月7日 星期二 23:55

输入：

共两行

第一行 N （ 1<=N<=100 ），代表矩阵个数。

第二行有 N+1 个数，分别为 A1 、 A2 ...... An+1 （ 1<=Ak<=2000 ）， Ak 和 Ak+1 代表第 k 个矩阵是个 Ak X Ak+1 形的。

输出：

共两行

第一行 M ，为最优代价。注：测试用例中 M 值保证小于 2^31

第二行为最优顺序。如 (A1((A2A3)A4)) ，最外层也加括号。

注意:测试用例已经保证了输出结果唯一,所以没有AAA的情况.

	测试输入	期待的输出	时间限制	内存限制	额外进程
测试用例 1	6↵ 30 35 15 5 10 20 25↵	15125↵ ((A1(A2A3))((A4A5)A6))↵	1秒	64M	0

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具体方法上面已经详细讲解啦~

主要注意：当矩阵链中矩阵数目为1的输出要加上括号，不然会wa一个。

完整AC代码1：（未优化的时间复杂度）

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// Created by LittleCat on 2020/3/10.
//

#include 
#include 

using namespace std;
#define MAX 2010

int ans[MAX][MAX] = {0}; // 保存矩阵链 A[i..j]的最小代价
int divide[MAX][MAX] = {0};   // 记录最小代价ans[i,j]对应的分割点

/* 计算n元矩阵链p的最优代价
 * 动态规划的每一步结果储存在 ans与 divide中 */
void MatrixChainOrder(int p[], int n) {
    /* 矩阵链长度为2到n */
    for (int l = 2; l <= n; l++) {
        /* 讨论长度为l的矩阵链A[i..j] */
        for (int i = 1; i <= n - l + 1; i++) {
            int j = i + l - 1;
            ans[i][j] = INT_MAX;
            /* 依次讨论每一个分割点d:将矩阵链A[i..j]分成A[i..d]和 A[d+1..j] */
            for (int temp, d = i; d < j; d++) {
                temp = ans[i][d] + ans[d + 1][j] + p[i - 1] * p[d] * p[j];
                /* 记录下矩阵链A[i..j]最小的情况 */
                if (temp < ans[i][j]) {
                    ans[i][j] = temp;
                    divide[i][j] = d;
                }
            }
        }
    }
}

/* 根据divide数组，输出A[i..j]的最优情况 */
void PrintDivide(int i, int j) {
    if (i == j)
        printf("A%d", i);
    else {
        int d = divide[i][j];  //找到分界点
        printf("(");
        PrintDivide(i, d);
        PrintDivide(d + 1, j);
        printf(")");
    }
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int p[MAX];
    for (int temp, i = 0; i <= n; i++)
        scanf("%d", &p[i]);

    MatrixChainOrder(p, n);
    printf("%d\n", ans[1][n]);
    if (n == 1)
        printf("(A1)");
    else
        PrintDivide(1, n);
    printf("\n");
}

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完整AC代码2：（优化的时间复杂度） 

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// Created by LittleCat on 2020/3/10.
//

#include 
#include 

using namespace std;
#define MAX 2010

int ans[MAX][MAX] = {0}; // 保存矩阵链 A[i..j]的最小代价
int divide[MAX][MAX] = {0};   // 记录最小代价ans[i,j]对应的分割点

/* 计算n元矩阵链p的最优代价
 * 动态规划的每一步结果储存在 ans与 divide中 */
void MatrixChainOrder(int p[], int n) {
    /* 初始化divide数组 */
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        divide[i][i] = i;
    /* 矩阵链长度为2到n */
    for (int l = 2; l <= n; l++) {
        /* 讨论长度为l的矩阵链A[i..j] */
        for (int i = 1; i <= n - l + 1; i++) {
            int j = i + l - 1;
            ans[i][j] = INT_MAX;
            /* 在特定区间内：依次讨论每一个分割点d，将矩阵链A[i..j]分成A[i..d]和 A[d+1..j] */
            for (int temp, d = divide[i][j - 1]; d <= divide[i + 1][j]; d++) {
                temp = ans[i][d] + ans[d + 1][j] + p[i - 1] * p[d] * p[j];
                /* 记录下矩阵链A[i..j]最小的情况 */
                if (temp < ans[i][j]) {
                    ans[i][j] = temp;
                    divide[i][j] = d;
                }
            }
        }
    }
}

/* 根据divide数组，输出A[i..j]的最优情况 */
void PrintDivide(int i, int j) {
    if (i == j)
        printf("A%d", i);
    else {
        int d = divide[i][j];  //找到分界点
        printf("(");
        PrintDivide(i, d);
        PrintDivide(d + 1, j);
        printf(")");
    }
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int p[MAX];
    for (int temp, i = 0; i <= n; i++)
        scanf("%d", &p[i]);

    MatrixChainOrder(p, n);
    printf("%d\n", ans[1][n]);
    if (n == 1)
        printf("(A1)");
    else
        PrintDivide(1, n);
    printf("\n");
}

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2、合并石子

合并石子问题：线性排列着N堆石子，现在要将石子合并成一堆。规定如下：每次只能将相邻的两堆石子合并，合并两堆石子所花费的时间为两堆石子的数量和。求将N堆石子合并成一堆最小花费的时间。（石子分为n堆，石子的数量存储在数组中）

 下面是一个 n = 4 、p = {4, 2, 3, 4} 的例子，最小花费的时间为26。

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此题本质就是一个矩阵链乘问题 —— 在链中选择每相邻两节点合并，直到全部合并完毕为止。合并石子的过程也就是在矩阵链中加括号的过程。

此题也是一个具有最优子结构的问题：

为了构造一堆石子 合并的最优解，我们可以将问题分解成两个子问题:  和 的石子合并问题。求出子问题的最优解后，再将子问题的最优解组合起来。

寻找一个递归的动态求解方案：

合并的代价对应储存在二维数组 ans[0..n-1, 0..n-1] 中，我们用 ans[i, j] 表示合并石子堆 的最小计时间代价，那么原问题的最小计算代价最终就在 ans[1, n] 内。 

状态转移方程：

• 当 i = j 时： 
• 当 i < j 时： 

 ps：在定义时将 ans数组全部初始化为 0。

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完整AC代码1：（未优化的时间复杂度）

核心部分是三层循环

• 第一层循环：长度 l = 2..n
• 第二层循环：讨论每个长度为 l 的石子堆 ：i = 1..n - l +1， j = i + l + 1
• 第三层循环：确定最优分割点 k = i..j-1

可见，此代码的时间复杂度为 

#define N 100

#include 
#include 

/* 合并石子问题：线性排列着N堆石子，现在要将石子合并成一堆。
 * 规定如下：每次只能将相邻的两堆石子合并，合并两堆石子所花费的时间为两堆石子的数量和。
 * 求将N堆石子合并成一堆最小花费的时间。（石子分为n堆，石子的数量存储在数组p[0..n-1]中）*/
int ans[N][N] = {0};

int MergeStone(int p[], int n) {

    /* 石子堆的个数：从1到n */
    for (int l = 2; l <= n; l++) {
        /* 讨论l个石子的石子堆 p[i..j] */
        for (int i = 0; i < n - l + 1; i++) {
            int j = i + l - 1, sum = 0;
            /* 计算p[i..j]的石子总和 */
            for (int t = i; t <= j; t++)
                sum += p[t];
            ans[i][j] = INT_MAX;
           /* 依次讨论每一个分割点d:将石子堆p[i..j]分成p[i..k]和 A[k+1..j] */
            for (int temp, k = i; k < j; k++) {
                temp = ans[i][k] + ans[k + 1][j] + sum;
                if (temp < ans[i][j])
                    ans[i][j] = temp;
            }
        }
    }
    return ans[0][n - 1];
}

---

完整AC代码2：（优化的时间复杂度） 

#define N 100

#include 
#include 

/* 合并石子问题：线性排列着N堆石子，现在要将石子合并成一堆。
 * 规定如下：每次只能将相邻的两堆石子合并，合并两堆石子所花费的时间为两堆石子的数量和。
 * 求将N堆石子合并成一堆最小花费的时间。（石子分为n堆，石子的数量存储在数组p[0..n-1]中）*/

//优化版本！！！！

int ans[N][N] = {0};
int divide[N][N];

int MergeStone(int p[], int n) {
    /* divide数组初始化*/
    for (int i = 0; i < n; i++)
        divide[i][i] = i;

    /* 石子堆的个数：从1到n */
    for (int l = 2; l <= n; l++) {
        /* 讨论l个石子的石子堆 p[i..j] */
        for (int i = 0; i < n - l + 1; i++) {
            int j = i + l - 1, sum = 0;
            /* 计算p[i..j]的石子总和 */
            for (int t = i; t <= j; t++)
                sum += p[t];
            ans[i][j] = INT_MAX;
            /* 依次讨论特定区间内分割点d:将石子堆p[i..j]分成p[i..k]和 A[k+1..j] */
            for (int temp, k = divide[i][j - 1]; k <= divide[i + 1][j]; k++) {
                temp = ans[i][k] + ans[k + 1][j] + sum;
                if (temp < ans[i][j]) {
                    ans[i][j] = temp;
                    divide[i][j] = k;  //更新p[i..j]的石子堆的最优分割位置
                }

            }
        }
    }
    return ans[0][n - 1];
}

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