二叉堆

1.什么是二叉堆？

　　二叉堆本质上是一种完全二叉树，它分为两个类型。

• 最大堆—最大堆的任何一个父节点的值，都大于或等于它左、右孩子节点的值。
• 最小堆—最小堆的任何一个父节点的值，都小于或等于它左、右孩子节点的值。

　　二叉堆的根节点叫做堆顶。

　　最大堆和最小堆的特点决定了：最大堆堆顶是整个堆中的最大元素；最小堆的堆顶是整个堆中的最小元素。

2.二叉堆的构建

　　二叉堆的构建需要依靠二叉堆的自我调整

　　2.1 二叉堆的自我调整

　　　　对于二叉堆，有如下几种操作：

• • • 插入节点
    • 删除节点
    • 构建二叉堆

　　　　这几种操作都是基于堆的自我调整。所谓堆的自我调整，就是把一个不符合堆性质的完全二叉树，调整成一个堆。

　　　　2.1.1 插入节点（以最小堆为例）

　　　　　　当二叉堆插入节点时，插入位置是完全二叉树的最后一个位置。新节点与父节点比较大小，小于父节点，则新节点上浮，与父节点交换位置。依次循环比较，知道最小值到达堆顶位置，并且所有父节点都小于或等于它左、右孩子节点。

　　　　2.1.2 删除节点

　　　　　　二叉堆删除节点的过程与插入节点的过程正好相反，所删除的是处于堆顶的节点。

　　　　　　需要注意的是，当删除堆顶的节点后，为了继续维持完全二叉树的结构，我们把堆的最后一个节点临时补到原本堆顶的位置，接下来，让堆顶位置的节点与它的左右孩子节点进行比较，来满足最小堆或者最大堆的特性。

　　　　2.1.3 构建二叉堆

　　　　　　构建二叉堆，也就是把一个无序的完全二叉树调整为二叉堆，本质就是让所有非叶子节点依次下沉。

　　　　　　首先，需要从最后一个非叶子节点开始，与它的左右孩子节点进行比较，并按照最大堆或者最小堆的特性依次完成节点的下沉。　

　　2.2 二叉堆的代码实现

　　　　首先，我们要明确一点，二叉堆虽然是一个完全二叉树，但是它的存储方式并不是链式存储，二是顺序存储。换句话说，二叉堆的所有节点都存储在数组中。

　　　　在数组中，在没有左右指针的情况下，如何定位一个父节点的左孩子和右孩子呢？

　　　　假设父节点的下标是parent，那么它左孩子的下标就是2 * parent + 1；右孩子的下标就是2 * parent +2。

　　　　简单的代码实现如下：

 1 package com.algorithm.test;
 2 
 3 import java.util.Arrays;
 4 
 5 /**
 6  * @Author Jack丶WeTa
 7  * @Date 2020/7/30 11:13
 8  * @Description 二叉堆的代码实现
 9  */
10 public class HeapTest {
11 
12     /**
13      * "上浮"调整
14      * @param array 待调整的堆
15      */
16     public static void upAdjust(int[] array){
17         int childIndex = array.length - 1;
18         int parentIndex = (array.length - 1) / 2;
19         //temp保存插入的叶子节点的值，用于最后的赋值
20         int temp = array[childIndex];
21         while (childIndex > 0 && temp < array[parentIndex]) {
22             //无须真正交换，单向赋值即可
23             array[childIndex] = array[parentIndex];
24             childIndex = parentIndex;
25             parentIndex = (parentIndex - 1) / 2;
26         }
27         array[childIndex] = temp;
28     }
29 
30     /**
31      * "下称调整"
32      * @param array         待调整的堆
33      * @param parentIndex   要“下称”的父节点
34      * @param length        堆的有效大小
35      */
36     public static void downAdjust(int[] array, int parentIndex, int length){
37         //temp保存父节点的值，用于最后赋值
38         int temp = array[parentIndex];
39         int childIndex = 2 * parentIndex + 1;
40         while (childIndex < length) {
41             //如果有右孩子，且右孩子小于左孩子的值则定位到右孩子
42             if (childIndex + 1 < length && array[childIndex+1] < array[childIndex])
43                 childIndex++;
44             //如果父节点小于任何一个孩子的值，则直接跳出
45             if (temp < array[childIndex])
46                 break;
47 
48             //无须真正交换，单向赋值即可
49             array[parentIndex] = array[childIndex];
50             parentIndex = childIndex;
51             childIndex = 2 * childIndex + 1;
52         }
53         array[parentIndex] = temp;
54     }
55 
56     /**
57      * 构建堆
58      * @param array 待调整的堆
59      */
60     public static void buildHeap(int[] array){
61         //从最后一个非叶子节点开始，依次做“下沉”调整
62         for (int i = (array.length - 2) / 2; i >= 0; i--){
63             downAdjust(array, i, array.length);
64         }
65     }
66 
67     public static void main(String[] args) {
68         int[] array = new int[]{1,3,2,6,5,7,8,9,10,0};
69         upAdjust(array);
70         System.out.println(Arrays.toString(array));
71 
72         array = new int[]{7,1,3,10,5,2,8,9,6};
73         buildHeap(array);
74         System.out.println(Arrays.toString(array));
75     }
76 }

　　堆的插入操作是单一节点的“上浮”，堆的删除操作是单一节点的“下沉”，这两个操作的平均交换次数都是堆高度的一半，所以时间复杂度是0(logn)，至于堆的构建，则是O(n)。