【应用数学】动态最优化（1）：确定性差分方程

200728本篇是应用数学之动态最优化理论的笔记，欢迎各位交流！今天是第一部分：确定性差分方程

本篇关于动态最优化的综合学习笔记。主要包括了离散与连续时间动态规划、连续时间最优控制与变分法等主题。本章仅给出在解决实际应用问题时的基本计算方法，对于数学上更进一步深入可以参考Stokey和Lucas（1989）。

1. 确定性差分方程

1.1 一阶线性差分方程

$$x_t=a{x}_{t-1}+b_t$$

1.1.1 齐次方程

• 对于齐次方程

$$x_t=a{x}_{t-1}$$

• 有稳定性结论
  （1）当 $0<a<1$ 时，解单调收敛于 $x=0$，均衡点是稳定的；
  （2）当$-1<a<0$ 时，解振荡收敛于 $x=0$，均衡点是稳定的；
  （3）当 $a>1$ 时，单调发散到无穷大，均衡点不稳定；
  （4）当 $a<-1$ 时，振荡发散到无穷大，均衡点不稳定。

1.1.2 非齐次自治方程

• 设方程中$b_t$为常数序列，则解为

$$x_t^g=\bar{x}+c{a}^t$$

• 有稳定性结论
  （1）当$|a|<1$ 时，对任意 $c$，方程的解收敛到均衡点，均衡点是稳定的。
  （2）当$|a|>1$ 时，除去$c=0$ 外，方程的解不收敛到均衡点，均衡点是不稳定的。
  （3）$a$ 的符号决定解是单调的还是振荡的。

1.1.3 非自治系统

• 将其后向迭代得到解为

$$x_t=a^n{x}_{t-n}+\sum _{i=0}^{n-1}{a}^i{b}_{t-i}$$

• 当$|a|<1$时后向解是稳定的，为

$$x_t=c{a}^t+\sum _{i=0}^{\infty }{a}^i{b}_{t-i}$$

• 当$|a|>1$时前向解是稳定的，为

$$x_t=c{a}^t-\frac{1}{a}\sum _{i=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{a}\right)}^i{b}_{t+1+i}$$

1.2 二阶线性差分方程

$$x_{t+2}=a{x}_{t+1}+b{x}_t+d_{t+2}$$

1.2.1 齐次系统

$$\left[\begin{array}{l}{x}_{t+1}\\ y_{t+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0& 1\\ b& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}_t\\ y_t\end{array}\right]$$

• 设 $A$ 的两个特征根和特征向量为${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\left(e_{11},e_{12}\right)}^{\prime },{\left(e_{21},e_{22}\right)}^{\prime }$。作特征根分解，可得

$$\left[\begin{array}{l}{x}_t\\ y_t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{e}_{11}& e_{12}\\ e_{21}& e_{x2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{c}_1{\lambda }_1^t\\ c_2{\lambda }_2^t\end{array}\right]$$

• 有结论
  （1）特征根为实根，如果所有特征根均小于 1，则收敛于均衡点。若有一个特征根绝对值大于1，则解发散，除非初始条件使该解为常数，出现鞍点情形。鞍点稳定要求一个特征根 1，另一特征根小于1。
  （2）特征根为复根，出现周期解；
  （3）重根和不能对角化的系统较复杂。

1.2.2 非齐次自治系统

• 经变换可得

$$z_{t+1}=A{z}_t+b$$

• 其解为

$$\left[\begin{array}{l}{x}_t\\ y_t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{e}_{11}& e_{12}\\ e_{21}& e_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{c}_1{\lambda }_1^t\\ c_2{\lambda }_2^{\mathrm{f}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}\bar{x}\\ \bar{y}\end{array}\right]$$

• 稳定性结论：
  （1）两个特征根模长均小于 1，则均衡点稳定；
  （2） 两个特征根模长均大于 1，则均衡点不稳定，仅在 $c_1=0$ 和 $c_2=0$ 时初始就在均衡点；
  （3）特征根一个大于 1，另一特征根小于 1（不妨设第二个特征根大于 1），则大多数时间下不稳定，当且仅当 $c_2=0$ 时是鞍点稳定的，此时鞍点路径为

$$x_t-\bar{x}=\frac{e_{11}}{e_{12}}\left(y_t-\bar{y}\right)$$

1.2.3 非线性动态系统

• 考虑下面的系统

$$\begin{gathered} x_t=f\left(x_{t-1},y_{t-1}\right) \\ {y}_t=g\left(x_{t-1},y_{t-1}\right) \end{gathered}$$

• 均衡点

$$\begin{gathered} \bar{x}=f(\bar{x},\bar{y}) \\ \bar{y}=g(\bar{x},\bar{y}) \end{gathered}$$

• 将其在均衡点附近作一阶展开并局部线性化，得到式

$$\begin{gathered} x_{i+1}-\bar{x}=f_x(\bar{x},\bar{y})\left(x_i-\bar{x}\right)+f_y(\bar{x},\bar{y})\left(y_t-\bar{y}\right) \\ {y}_{t+1}-\bar{y}=g_x(\bar{x},\bar{y})\left(x_t-\bar{x}\right)+g_y(\bar{x},\bar{y})\left(y_t-\bar{y}\right) \end{gathered}$$

• 记其系数矩阵$A$为

$$A=\left[\begin{array}{ll}{f}_x& f_y\\ g_x& g_y\end{array}\right]$$

• 稳定性结论：
  （1）两个特征根模均小于1，则均衡点稳定；
  （2）两个特征根模均大于1，则均衡点不稳定，仅在 $c_1=0$ 和 $c_2=0$ 时初始就在均衡点；
  （3）特征根一个大于 1，另一特征根小于 1（不妨设第二个特征根大于 1），则大多数时间下不稳定，当且仅当 $c_2=0$ 时是鞍点稳定的。