线性代数总结之——行列式

备注：此文是有关线性代数——行列式的复习总结，以备不时之需
总结自《工程数学线性代数第六版》
同时，如果有任何问题，欢迎评论留言

二三阶行列式的计算

嗯…直接上方法：

1、分清主(\)副(/)对角线，粗暴地直接计算，公式如下：

2、行列式性质+上（下）三角行列式

（1）利用行列式的性质，将所求行列式化为上（下）三角行列式；
（2）进而利用上（下）三角行列式性质计算其主对角线元素乘积即可.

3、行列式性质+行列式按行（列）展开

（1）利用行列式性质，将某一行或某一列的元素尽可能转化为0；
（2）进而将行列式按该行或该列展开.

请注意：上面的这些方法（除了第一种）可以扩展到更高阶行列式

利用行列式计算线性方程组的解

为什么可以用行列式计算？方程组的求解本身就是未知数的系数在其中起作用，归根结底是系数的运算，行列式的引入只不过是为了简化计算

逆序数

先看一个例子，搞清楚怎么计算

求：计算数字排列 90421 的逆序数
解：思路：
（1）寻找当前数之前比它大的数，有几个则这个数的逆序数就是几
（2）从左到右统计每一个数
（3）将（2）中统计出来的加起来，便是这个排列的逆序数
开始计算：
9 是第一个，它的逆序数为：0
0 之前比它大的是：9，它的逆序数为：1
4 之前比它大的是：9，它的逆序数为：1
2 之前比它大的是：9、4，它的逆序数为：2
1之前比它大的是：9、4、2，它的逆序数为：3
故，排列的逆序数为：0+1+1+2+3=7

为什么会提到逆序数？它有什么用？

请注意观察下面3阶行列式的展开式：

  是不是可以这样认为：展开式由有正有负的6个小部分组成？我们先不管小部分的正负，它其实可以简写为下面的形式：

  其中每一个小部分中的列下标 x、y、z 不重复地取 1、2、3 中的某一个，从而构成一个排列：xyz。依次写下6个小部分的列排列：123、231、312、132、213、321，分别计算它们各自的逆序数为：0、2、2、1、1、1

  紧接着，我们回到小部分之前的正负号讨论。先把6个小部分的正负号进行罗列：+、+、+、-、-、-，再看它们各自的逆序数：0、2、2、1、1、1，我们把逆序数记作 p，是否可以发现这样一个规律：

  如果你能明白这一点，就应该知道逆序数的作用了：它可以表示行列式展开式每一部分的正负情况。数学追求简洁，三阶行列式的展开式就可以简写为下面这个样子：

  同样，上面的讨论可以推广到更高阶，这里不再讨论，搞清原理即可

上（下）三角行列式、对角行列式

先看它们是怎么定义的

  主对角线以 下（上）的元素都为0的行列式叫做 上（下）三角行列式
  请注意：定义中 上、下的对应关系，即 0 应该在主对角线的哪一边

  主对角线以下和以上的元素都为0的行列式叫做对角行列式

再看看它们有什么重要性质（原理搞懂后牢记即可）

行列式的性质

注：只写结论，详细推导请参考教科书（推导会用到之前提到的逆序数）

1. 行列式与它的转置行列式相等
2. 对换行列式的两行（列），行列式变号
3. 推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式 = 0
4. 行列式的某一行（列）中所有元素都同乘一数 k，等于用数 k 乘此行列式
5. 推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面
6. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式 = 0
7. 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可以拆分为两个行列式的和
8. 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一个数后加到零一行（列）对应的元素上去，行列式不变

回到最开始求行列式的方法2

行列式的性质 8 + 上（下）三角行列式可用于行列式的计算

  由于任何n阶行列式总能利用性质 8 转化为上（下）三角行列式，再利用上（下）三角行列式的性质便可得到行列式的值

转化时的一个技巧：尽可能让转化开始时的左上角元素为1，请看下面的例子：

行列式按行或按列展开

为什么掌握它？计算高阶行列式复杂，但计算低阶行列式较为简便。是否可以用低阶表示高阶？

按行后按列展开便是用来实现这个方法的

引入概念1——余子式

求行列式元素aij的余子式的方法：
  把这个元素所在的第 i 行第 j 列去掉后，剩下的 n-1 阶行列式记作这个元素的余子式，记作Mij

引入概念2——代数余子式

  在余子式的基础上加上正负便是代数余子式Aij，如下：

介绍引理

  一个n阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除 aij 外都为 0，那么这行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，记作：

正式定理

  行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，记作：

回到最开始求行列式的方法3

讨论行列式按行或按列展开时提到用它的原因：便是将高阶的求解变为低阶，从而简化计算，使用 行列式性质+ 按行或列展开便符合这种思路

1. 寻找行或列中 0 比较多的那一行或列（如果没有，请进行下一步）
2. 利用行列式性质 8，尽可能将选中的那一行变为0（肯定不会变得全为0，可根据性质得出）
3. 利用按行或按列展开中的引理便可进行计算

一个简单的例子

按行（列）展开带来的3个内容

1、范德蒙德行列式

2、从定理引出的一个推论

  行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和 = 0 .如下所示：

3、代数余子式的重要性质——综合自定理和推论