营业日志 2020.5.20

今有 uoj 群友问到，如下式子如何快速计算：
$$[x^n]\frac{1}{{\prod }_{i=0}^m(1-(u+vi)x)}$$
我想了想，觉得这就是
$$\begin{array}{rl}[x^n]\frac{1}{{\prod }_{i=0}^m(1-(u+vi)x)}& =\left[\frac{x^{n+m}}{(n+m)!}\right]\frac{{\mathrm{e}}^{ux}({\mathrm{e}}^{vx}-1{)}^m}{m!v^m}\\ & =\frac{1}{m!v^m}\sum _{k=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)(-1{)}^{m-k}(u+kv{)}^{n+m}\end{array}$$
怎么解释呢？思考一番，大概有以下四条路：

其一，组合意义：我们给这个东西编一个组合意义：
$$\frac{(vx{)}^m}{{\prod }_{i=0}^m(1-(u+vi)x)}=\frac{1}{1-ux}\frac{vx}{1-(u+v)x}\cdots \frac{vx}{1-(u+mv)x}$$
那么这是个啥呢？这大概就是说每个球首先在一个集合里，这个集合的 id 是 $0\sim m$ 的，然后他在 $0$ 号集合就有 $u$ 种颜色可以选，否则有 $v$ 种颜色可以选。其中 $1\sim m$ 这些集合都被要求了至少有一个球。这 $m$ 个集合又被认为是不可区分的。

这么一来，上面那个 EGF 容斥就是很明显的了。

其二，线性递推方面的考虑：

首先原式是一个求逆的形式，显然是一个线性递推，而且是 $m+1$ 阶的。所以 $\frac{x^m}{{\prod }_{i=0}^m(1-(u+vi)x)}$ 必然仍然是线性递推的。而如果想要转为 EGF，那么由于原式的特征根不重复，我们知道这必然是化为 $\sum {\lambda }_k{\mathrm{e}}^{(u+vk)x}={\mathrm{e}}^{ux}\sum {\lambda }_k{\mathrm{e}}^{vkx}$ 的形式。为了让前面的项都是 $0$，只好用 $c{\mathrm{e}}^{ux}({\mathrm{e}}^{vx}-1{)}^m$ 的形式然后待定系数。

其三，分式分解：

根据分式分解系数 $R_i(x)=P(x){\left[Q(x)/q_i(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{q}_i(x)\right]}^{-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{q}_i(x)$，也就是
$$\begin{array}{rl}{R}_i& ={\left[\prod _{j\ne i}\left(1-\frac{u+vj}{u+vi}\right)\right]}^{-1}\\ & =\prod _{j\ne i}\frac{u+vi}{(i-j)v}\\ & =\frac{(u+vi{)}^m(-1{)}^{m-i}}{v^{m}i!(m-i)!}\end{array}$$
也是一致的。

其四，代数方法：

事实上我们通过两个公式可以构造 $x^n\iff \frac{x^n}{n!}$ 的线性映射。

从 $\frac{x^n}{n!}$ 到 $x^n$ 的通过欧拉积分 ${\int }_0^{\infty }{t}^n{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=n!$ 导出。这给出了 Laplace-Borel 变换（似乎又叫组合 Laplace 变换）
$${\int }_0^{\infty }F(xt){\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=\sum _{n}n!x^n[x^n]F(x)$$
而反过来，我们首先要考虑一个环路积分构造，结合指数函数 $[x^n]{\mathrm{e}}^x=\frac{1}{n!}$ 来完成：（也叫做组合 Borel 变换）
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(z{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\vartheta }){\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\vartheta }}\mathrm{d}\vartheta =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{|\zeta |=1}\frac{{\mathrm{e}}^{\zeta }F\left(\frac{z}{\zeta }\right)}{\zeta }\mathrm{d}\zeta =\sum _n\frac{x^n}{n!}[x^n]F(x)$$
留数我不太懂，但是参考这个，感觉在这种情况上的具体计算过程和分式分解是类似的。

---

upd：这个东西听说叫 r-Stirling 数。