【模板】树链剖分

首先，在学树链剖分之前最好先把 LCA、树形DP、DFS序 这三个知识点学了 emm还有必备的 链式前向星、线段树 也要先学了。

如果这三个知识点没掌握好的话，树链剖分难以理解也是当然的。

树链剖分
树链剖分 就是对一棵树分成几条链，把树形变为线性，减少处理难度

需要处理的问题：

将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
求以x为根节点的子树内所有节点值之和
概念
重儿子：对于每一个非叶子节点，它的儿子中 儿子数量最多的那一个儿子 为该节点的重儿子
轻儿子：对于每一个非叶子节点，它的儿子中 非重儿子 的剩下所有儿子即为轻儿子
叶子节点没有重儿子也没有轻儿子（因为它没有儿子。。）
重边：连接任意两个重儿子的边叫做重边
轻边：剩下的即为轻边
重链：相邻重边连起来的 连接一条重儿子 的链叫重链
对于叶子节点，若其为轻儿子，则有一条以自己为起点的长度为1的链
每一条重链以轻儿子为起点

dfs1()
这个dfs要处理几件事情：

标记每个点的深度dep[]
标记每个点的父亲fa[]
标记每个非叶子节点的子树大小(含它自己)
标记每个非叶子节点的重儿子编号son[]
inline void dfs1(int x,int f,int deep){//x当前节点，f父亲，deep深度
dep[x]=deep;//标记每个点的深度
fa[x]=f;//标记每个点的父亲
siz[x]=1;//标记每个非叶子节点的子树大小
int maxson=-1;//记录重儿子的儿子数
for(Rint i=beg[x];i;i=nex[i]){
int y=to[i];
if(y==f)continue;//若为父亲则continue
dfs1(y,x,deep+1);//dfs其儿子
siz[x]+=siz[y];//把它的儿子数加到它身上
if(siz[y]>maxson)son[x]=y,maxson=siz[y];//标记每个非叶子节点的重儿子编号
}
}//变量解释见最下面
dfs2()
这个dfs2也要预处理几件事情

标记每个点的新编号
赋值每个点的初始值到新编号上
处理每个点所在链的顶端
处理每条链
顺序：先处理重儿子再处理轻儿子，理由后面说

inline void dfs2(int x,int topf){//x当前节点，topf当前链的最顶端的节点
id[x]=++cnt;//标记每个点的新编号
wt[cnt]=w[x];//把每个点的初始值赋到新编号上来
top[x]=topf;//这个点所在链的顶端
if(!son[x])return;//如果没有儿子则返回
dfs2(son[x],topf);//按先处理重儿子，再处理轻儿子的顺序递归处理
for(Rint i=beg[x];i;i=nex[i]){
int y=to[i];
if(yfa[x]||yson[x])continue;
dfs2(y,y);//对于每一个轻儿子都有一条从它自己开始的链
}
}//变量解释见最下面
处理问题
Attention 重要的来了！！！ 前面说到dfs2的顺序是先处理重儿子再处理轻儿子 我们来模拟一下：

因为顺序是先重再轻，所以每一条重链的新编号是连续的
因为是dfs，所以每一个子树的新编号也是连续的
现在回顾一下我们要处理的问题

处理任意两点间路径上的点权和
处理一点及其子树的点权和
修改任意两点间路径上的点权
修改一点及其子树的点权
1、当我们要处理任意两点间路径时： 设所在链顶端的深度更深的那个点为x点

ans加上x点到x所在链顶端 这一段区间的点权和
把x跳到x所在链顶端的那个点的上面一个点
不停执行这两个步骤，直到两个点处于一条链上，这时再加上此时两个点的区间和即可

这时我们注意到，我们所要处理的所有区间均为连续编号(新编号)，于是想到线段树，用线段树处理连续编号区间和

每次查询时间复杂度为O(log^2n)O(log
2
n)