【模板】树链剖分

首先,在学树链剖分之前最好先把 LCA、树形DP、DFS序 这三个知识点学了 emm还有必备的 链式前向星、线段树 也要先学了。

如果这三个知识点没掌握好的话,树链剖分难以理解也是当然的。

树链剖分
树链剖分 就是对一棵树分成几条链,把树形变为线性,减少处理难度

需要处理的问题:

将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
求以x为根节点的子树内所有节点值之和
概念
重儿子:对于每一个非叶子节点,它的儿子中 儿子数量最多的那一个儿子 为该节点的重儿子
轻儿子:对于每一个非叶子节点,它的儿子中 非重儿子 的剩下所有儿子即为轻儿子
叶子节点没有重儿子也没有轻儿子(因为它没有儿子。。)
重边:连接任意两个重儿子的边叫做重边
轻边:剩下的即为轻边
重链:相邻重边连起来的 连接一条重儿子 的链叫重链
对于叶子节点,若其为轻儿子,则有一条以自己为起点的长度为1的链
每一条重链以轻儿子为起点

dfs1()
这个dfs要处理几件事情:

标记每个点的深度dep[]
标记每个点的父亲fa[]
标记每个非叶子节点的子树大小(含它自己)
标记每个非叶子节点的重儿子编号son[]
inline void dfs1(int x,int f,int deep){//x当前节点,f父亲,deep深度
dep[x]=deep;//标记每个点的深度
fa[x]=f;//标记每个点的父亲
siz[x]=1;//标记每个非叶子节点的子树大小
int maxson=-1;//记录重儿子的儿子数
for(Rint i=beg[x];i;i=nex[i]){
int y=to[i];
if(y==f)continue;//若为父亲则continue
dfs1(y,x,deep+1);//dfs其儿子
siz[x]+=siz[y];//把它的儿子数加到它身上
if(siz[y]>maxson)son[x]=y,maxson=siz[y];//标记每个非叶子节点的重儿子编号
}
}//变量解释见最下面
dfs2()
这个dfs2也要预处理几件事情

标记每个点的新编号
赋值每个点的初始值到新编号上
处理每个点所在链的顶端
处理每条链
顺序:先处理重儿子再处理轻儿子,理由后面说

inline void dfs2(int x,int topf){//x当前节点,topf当前链的最顶端的节点
id[x]=++cnt;//标记每个点的新编号
wt[cnt]=w[x];//把每个点的初始值赋到新编号上来
top[x]=topf;//这个点所在链的顶端
if(!son[x])return;//如果没有儿子则返回
dfs2(son[x],topf);//按先处理重儿子,再处理轻儿子的顺序递归处理
for(Rint i=beg[x];i;i=nex[i]){
int y=to[i];
if(yfa[x]||yson[x])continue;
dfs2(y,y);//对于每一个轻儿子都有一条从它自己开始的链
}
}//变量解释见最下面
处理问题
Attention 重要的来了!!! 前面说到dfs2的顺序是先处理重儿子再处理轻儿子 我们来模拟一下:

因为顺序是先重再轻,所以每一条重链的新编号是连续的
因为是dfs,所以每一个子树的新编号也是连续的
现在回顾一下我们要处理的问题

处理任意两点间路径上的点权和
处理一点及其子树的点权和
修改任意两点间路径上的点权
修改一点及其子树的点权
1、当我们要处理任意两点间路径时: 设所在链顶端的深度更深的那个点为x点

ans加上x点到x所在链顶端 这一段区间的点权和
把x跳到x所在链顶端的那个点的上面一个点
不停执行这两个步骤,直到两个点处于一条链上,这时再加上此时两个点的区间和即可

这时我们注意到,我们所要处理的所有区间均为连续编号(新编号),于是想到线段树,用线段树处理连续编号区间和

每次查询时间复杂度为O(log^2n)O(log
2
n)

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