找病狗

【问题】

一个屋子里有50个人，每人牵着一条狗，这些狗中有一部分是病狗。假定有如下条件：

• 狗的病不会传染，也不会不治而愈；
• 狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病，只能通过观察别人的狗推理出自己的狗是否有病；
• 一旦主人发现自己的狗是病狗，就必须在当天开枪将狗打死；
• 狗只能由它的主人开枪打死。

如果他们在一起，第一天没有枪声、第二天没有枪声……第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死了？

 

【析题】

本题用到的数学思想有：反证法 和 数学归纳法。

介绍一下 “数学归纳法”：

关于自然数的命题给出一个猜想，然后证明这个命题，用数学归纳法。

数学归纳法使用步骤如下：

• 首先，证明 K = 1 时，命题成立。
• 然后，设第 K 时命题成立，去证 K + 1 时命题也成立。

当以上两点全部成立时，就能够证明该猜想是成立的。

 

【解答】

第十天有 10 条狗被打死。推理过程如下：

首先，由“第一天没有枪声”可知，病狗不止一条。反证法：

• 假设只有一条病狗，由于“只能通过观察别人的狗推理出自己的狗是否有病”，所以若病狗的主人看到其余的49条都是好狗，那就能推理出自己的狗是唯一的病狗，那么在第一天他就会开枪打死这只病狗了。既然“第一天没有枪声”，那么假设就不成立。所以得出结论：病狗不止一条。

其次，用数学归纳法的思想去猜想：

• 假设病狗只有一条，第一天就会被枪杀。然后，假设病狗有两条，那么第二天就一定会响起枪声，因为：第一天，病狗的主人们会看到除了自己的狗，有48条是好狗，有一条是病狗，并猜测那只病狗的主人会在当天打死这只病狗；第二天他们彼此发现对方的病狗还活着，证明：除了对方的狗是病狗，自己的狗也是病狗。于是第二天就一定会响起枪声，两只病狗被打死了。以此类推，第十天就会有10条病狗被打死。

最后，用数学归纳法的形式论证猜想是否成立：

• 假设：第一天没有枪声，第二天没有枪声……一直到第 K - 1 天没有枪声，第 K 天有枪声，则有 K 条狗被打死成立。证明：
  • 第一步，假设第一天有枪声，则有一条病狗被打死成立。证明：
    假设只有一条病狗，由于“只能通过观察别人的狗推理出自己的狗是否有病”，所以若病狗的主人看到其余的49条都是好狗，那就能推理出自己的狗是唯一的病狗，那么在第一天他就会开枪打死这只病狗了。既然“第一天没有枪声”，那么假设就不成立。所以得出结论：病狗不止一条。命题成立。
  • 第二步，假设第 K 天有枪声则有 K 条病狗被打死是成立的，进一步猜想第 K + 1 天有枪声响起就会有 K + 1 条病狗被打死也是成立的。证明：
    若第 K 天没有枪声，证明病狗的条数大于等于 K + 1，然后，第 K + 1 天，所有病狗的主人就会知道自己的狗是病狗，就会有 K + 1 条病狗被打死。命题成立。
  • 以上两个猜想都成立，所以，最终结果是：若第一天没有枪声，第二天没有枪声……一直到第 K - 1 天没有枪声，第 K 天有枪声，则有 K 条狗被打死是成立的。
• 所以，第十天有 10 条狗被打死。