图像频域变换（一）

1、什么是频域空间？

 时域与频域
在图像处理中，时域可以理解为空间域，处理对象为图像平面本身；

频域就是频率域，是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系；

自变量是频率，即横轴是频率，纵轴是该频率信号的幅度，也就是通常说的频谱图；

频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系；

2、常用的基本概念

 滤波
时域滤波这类方法直接对图像的像素进行卷积处理；

频域滤波是变换域滤波的一种它是指将图像进行傅里叶变换后之后，在变换域中对图像的变换系数进行处理(滤波)，处理完毕后再进

行逆变换，获得滤波后的图像。

时域的卷积可由频域的乘积，逆傅里叶变换变换而得

时域的卷积的傅里叶变换，可由二者傅里叶变换的乘积

因此，时域（空域）滤波的基本技能，可延伸至频域滤波

 低通/高通
在频域空间，图像的信息表现为不同频率分量的组合。如果能让某个范围内的分量或某些频率的分量受到抑制，而让其他分量不受影响，就可以改变输出图的频率分布，达到不同的增强目的。

（1）将图像从图像空间转换到频域空间；

（2）在频域空间对图像进行增强；

（3）将增强后的图像再从频域空间转换到图像空间。

低通滤波保留图像中的低频分量而除去高频分量。

高通滤波保留图像中的高频分量而除去低频分量。

图像中的边缘和噪声都对应图像傅里叶频谱中的高频部分，所以低通滤波可以除去或消弱噪声的影响并模糊边缘轮廓。

 频域滤波器

理想滤波器

高斯滤波器

巴特沃斯滤波器

3、什么是傅里叶变换？

   ◆  1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier) 提出“每一个周期函数都可以表示成三角函数之和” ，奠定了傅里叶级数的理论基础。

   ◆ 1829年，法国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以严密的方式给出傅里叶级数与积分存在条件的完整证明。

一个周期信号只有在满足狄利克雷条件的前提下，才可以展开为傅里叶级数。

 傅立叶变换

任何周期函数都可以表达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级数。

 傅立叶级数表达式

4、离散傅里叶变换用法

5、多维傅里叶变换用法