【Luogu 4630】[APIO2018] Duathlon 铁人两项（圆方树）

题目

题目描述

比特镇的路网由 $m$ 条双向道路连接的 $n$ 个交叉路口组成。

最近，比特镇获得了一场铁人两项锦标赛的主办权。这场比赛共有两段赛程：选手先完成一段长跑赛程，然后骑自行车完成第二段赛程。

比赛的路线要按照如下方法规划：

先选择三个两两互不相同的路口 $s,c$ 和 $f$，分别作为比赛的起点、切换点（运动员在长跑到达这个点后，骑自行车前往终点）、终点。
选择一条从 $s$ 出发，经过 $c$ 最终到达 $f$ 的路径。考虑到安全因素，选择的路径经过同一个点至多一次。
在规划路径之前，镇长想请你帮忙计算，总共有多少种不同的选取 $s,c$ 和 $f$ 的方案，使得在第 $2$ 步中至少能设计出一条满足要求的路径。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$ ，分别表示交叉路口和双向道路的数量。

接下来 $m$ 行，每行两个整数 $v_i,u_i$。表示存在一条双向道路连接交叉路口 $v_i,u_i(1\le v_i,u_i\le n,v_i\ne u_i)$。

保证任意两个交叉路口之间，至多被一条双向道路直接连接。

输出格式

输出一行，包括一个整数，表示能满足要求的不同的选取 $s,c$ 和 $f$ 的方案数。

输入输出样例

输入 #1
4 3
1 2
2 3
3 4
输出 #1
8

输入 #2
4 4
1 2
2 3
3 4
4 2
输出 #2
14

说明/提示

提示

在第一个样例中，有以下 $8$ 种不同的选择 $(s,c,f)$ 的方案：$(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),(3,2,1),(4,2,1),(4,3,1),(4,3,2)$。

在第二个样例中，有以下 $14$ 种不同的选择 $(s,c,f)$ 的方案：$(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(1,4,3),(2,3,4),(2,4,3),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,1),$$(3,4,2),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,1),(4,3,2)$。

子任务（注：这里给出的子任务与本题在这里的最终评测无关，仅供参考）

Subtask 1 (points: $5$): $n\le 10,m\le 100$
Subtask 2 (points: $11$): $n\le 50,m\le 100$
Subtask 3 (points: $8$): $n\le 100000$，每个交叉路口至多作为两条双向道路的端点
Subtask 4 (points: $10$): $n\le 1000$，在路网中不存在环（存在环是指存在一个长度为 $k(k\ge 3)$ 的交叉路口序列 $v_1,v_2,...,v_k$，序列中的路口编号两两不同，且对于 $i$ 从 $1$ 到 $k-1$，有一条双向道路直接连接路口 $v_i$ 和 $v_{i+1}$，且有一条双向道路直接连接路口 $v_k$ 和 $v_1$）
Subtask 5(points: $13$): $n\le 100000$，在路网中不存在环
Subtask 6(points: $15$): $n\le 1000$，对于每个交叉路口，至多被一个环包含
Subtask 7(points: $20$): $n\le 100000$，对于每个交叉路口，至多被一个环包含
Subtask 8(points: $8$): $n\le 1000,m\le 2000$
Subtask 9(points: $10$): $n\le 100000,m\le 200000$

题目传送门

思路

对于无向图上的简单路径问题，一般我们会试用 $tarjan$ 这个优（gui）秀（chu）的东西。
对于这一题，我们需要先将每一个点双联通分量缩起来。
于是解引出了我国庆集训刚学习的 毒瘤 东西：
——圆方树
会圆方树的奆佬们请自觉忽略以下文字。

圆方树

先放张图

………………………………………

---

定义

在圆方树中，原来的每个点对应一个圆点，每一个点双对应一个方点。
所以共有 $n+c$ 个点，其中 $n$ 是原图点数，$c$ 是原图点双连通分量的个数。
造一颗圆方树，就可以支持一些对无向图路径的操作了。
聪明机智 的我又开始 盗图 了。

（不要face的把图片下面的网址改成了红色。。。）

性质

有一些 显而易见 的性质：

• 对于任意无向图 $G=\{V,E\}$ 均满足建出来的是森林。
• 对于任意连通无向图 $G$ 均满足建出来的是一颗无根树。
• 方点只能和圆点相邻，同样，圆点只能和方点相邻。
• 如果两个方点有公共相邻的圆点，那这个圆点就是这两个方点代表的点双的割点。
• 原图的割点是圆方树中度数 $>1$ 的圆点。
• 方点的点度是点双联通分量的大小。
• 我不知道（编不下去）了……

构建

似乎很简单？
首先 $Tarjan$ 缩点，把每个大小超过 $1$ 的环里面的所有点都向一个新点（方点）连边。
然后把多出来的连接两个圆点的边直接给连上。
就完事了。。。

---

那么这题怎么做呢？
这好像就是一道圆方树裸题。
具体见下：

• 把圆方树建出来，在树中任意枚举两个圆点作为 $s$ 和 $f$ ，然后考虑 $c$ 有多少种选法，两个点路径上每个点双中的点都可以选。
• 令每个圆点的权值为$-1$，每个方点的权值为点双大小，可以得到答案就是两点之间的点权和，也就是说我们要求圆方树上 $n^2$ 条圆点到圆点的路径的权值和。
• 可以想到计算每个点被算了多少次，可以用一遍$dfs$得到。这样就可以在线性的时间内做完这题了。

一些注意事项：

• $ans$ 要 $\times 2$
• $ans$ 要开 $longlong$

(其实就是我调了很长时间的原因……)

代码

#include 

using namespace std;
int n, m, tot, dfn[100010], low[100010], lev, tp;
struct node {
	int y, nxt;
} e[500010];
int val[200010], siz[200010], st[100010], head[500010];
long long ans;
vector <int> son[200010];

void addedge(int x, int y) {
	e[++tot].y = y;
	e[tot].nxt = head[x];
	head[x] = tot;
}

void tarjan(int x, int pre) {
	dfn[x] = low[x] = ++lev;
	st[++tp] = x;
	siz[x] = 1; val[x] = -1;
	int now = 0, y;
	for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
		y = e[i].y;
		if (!dfn[y]) {
			tarjan(y, x);
			low[x] = min(low[x], low[y]);
			if (low[y] < dfn[x]) continue;
			val[++m] = 1;
			do {
				now = st[tp--];
				son[m].push_back(now);
				siz[m] += siz[now];
				val[m]++;
			} while (now != y);
            son[x].push_back(m);
			siz[x] += siz[m];
		}
		else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
	}
	return ;
}

void search(int x, int cnt) {
	int tmp = x <= n;
	for (int i = 0; i < son[x].size(); i++)
		search(son[x][i], cnt), ans += (long long) tmp*siz[son[x][i]]*val[x], tmp += siz[son[x][i]];
	ans += (long long) siz[x] * (cnt-siz[x]) * val[x];
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int v, u;
		scanf("%d%d", &u, &v);
		addedge(u, v); addedge(v, u);
	}
	m = n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (!dfn[i]) tarjan(i, 0), search(i, siz[i]);
	printf("%lld\n", ans*2);
	return 0;
}