《统计信号处理基础》第2章：最小方差无偏估计

本文为《Steven M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing:Estimation Theory》一书的第2章。

1、无偏估计量

  对未知参数进行估计，得到估计量。而所谓无偏估计，是指估计量的均值，等于未知参数的真值，即对未知参数$\theta$，有
$$\mathrm{E}(\hat{\theta })=\theta ,a<\theta <b，\text{\hspace{1em}(2.1)}$$那么估计量是无偏的。

真值是确定的，估计量却是随机的，每次估计得到一个样本。因此无偏估计就是，估计量的均值等于真值。

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【例2.1】AWGN中DC电平的无偏估计。
考虑观测
$$x[n]=A+w[n]n=0,1,\dots ,N-1$$其中$A$是要估计的参数，$w[n]$是AWGN。参数$A$可以取$-\infty <A<\infty$上的任何值。那么，$x[n]$的一个合理估计是
$$\hat{A}=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x[n],\text{\hspace{1em}(2.2)}$$即样本的均值。进一步，我们有
$$\begin{array}{rl}\mathrm{E}(\hat{A})& =\mathrm{E}\left[\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\right]\\ & =\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}\mathrm{E}(x[n])\\ & =A\end{array}$$因此，用样本均值作为估计量，是无偏的。

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 The restriction that $\mathrm{E}(\hat{\theta })=\theta$ for all $\theta$ is an important one. Letting $\hat{\theta }=g(\mathbf{x})$, where $\mathbf{x}={\left[x[0],x[1],\dots ,x[N-1]\right]}^T$, it asserts that
$$\mathrm{E}(\hat{\theta })=\int g(\mathbf{x})p(\mathbf{x};\theta )d\mathbf{x}=\theta \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\theta .\text{\hspace{1em}(2.3)}$$It is possible, however, that (2.3) may hold for some values of $\theta$ and not others, as the next example illustrate.

Example 2.2-Biased Estimator for DC Level in White Noise
Consider again Example 2.1 but with the modified sample mean estimator
$$\check{A}=\frac{1}{2N}\sum _{n=0}^{N-1}x[n].$$Then
$$\mathrm{E}(\check{A})=\frac{1}{2}A\{\begin{array}{r}=A,\mathrm{i}\mathrm{f}A=0\\ \ne A,\mathrm{i}\mathrm{f}A\ne 0.\end{array}$$It is seen that (2.3) holds for the modified estimator only for $A=0$. Clearly, $\check{A}$ is a biased estimator.

  估计量是无偏的并不一定意味着它是一个好的估计量。这只能够保证，从平均上看能够得到真实值。另一方面，有偏估计量意味着存在系统误差，而系统误差是不应该出现的。持续的偏差总会使得估计结果很差。例如，当几个估计量被混合时，无偏特性具有重要意义（见习题2.4）。有时可能可以得到同一个参数的多种估计，例如$\{{\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2,\dots ,{\hat{\theta }}_n\}$。合理的步骤是把这些估计合并，希望能够通过对他们进行平均来得到更好的估计，即
$$\hat{\theta }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\hat{\theta }}_i.\text{\hspace{1em}(2.4)}$$假定所有的估计器都是无偏的，方差相等，彼此不相关，因此有
$$\mathrm{E}(\hat{\theta })=\theta$$以及
$$\begin{array}{rl}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(\hat{\theta })& =\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}({\hat{\theta }}_i)\\ & =\frac{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}({\hat{\theta }}_1)}{n}\end{array}$$因此求平均的统计量个数越多，则方差越小。最终，如果$n\to \infty$，则$\hat{\theta }\to \theta$。 然而，如果估计器是有偏的，即$\mathrm{E}(\hat{\theta })=\theta +b(\theta )$，则
$$\begin{array}{rl}\mathrm{E}(\hat{\theta })& =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\mathrm{E}({\hat{\theta }}_i)\\ & =\theta +b(\theta ).\end{array}$$因此，不论对多少个估计器进行平均，$\hat{\theta }$都不会收敛到真实值，如Figure 2.2所示。这里，通常将
$$b(\theta )=\mathrm{E}(\hat{\theta })-\theta$$定义为估计器的偏差（bias）。

2、最小方差准则

    在寻找最优估计时，我们需要采取一些最优化原则。很自然的，我们可以采用均方误差（mean square error，MSE)，即
$$\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{e}(\hat{\theta })=\mathrm{E}\left[(\hat{\theta }-\theta {)}^2\right].\text{\hspace{1em}(2.5)}$$这个参数表述了估计量与真实值之间平方偏差的统计均值的大小。遗憾的是，采用这种自然准则的估计器是无法实现的，因为这个估计不能写成数据的函数。下面我们来看如何理解这个问题，我们将mse重写为
$$\begin{array}{rl}\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{e}(\hat{\theta })& =\mathrm{E}\left\{{\left[\left(\hat{\theta }-\mathrm{E}(\hat{\theta }\right)+\left(\mathrm{E}(\hat{\theta })-\theta \right)\right]}^2\right\}\\ & =\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(\hat{\theta })+b^2(\theta )\end{array}\text{\hspace{1em}(2.6)}$$这意味着，MES的误差时由于估计量的方差，以及偏差所引起的。例如，对于Example 2.1，考虑修正的估计
$$\check{A}=a\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]$$这里的$a$为某常数。下面我们来确定使得MSE最小的$a$值。由于$\mathrm{E}(\check{A})=aA$，且$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(\check{A})=a^2{\sigma }^2/N$，我们从(2.6)可以得到
$$\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{e}(\check{A})=\frac{a^2{\sigma }^2}{N}+(a-1{)}^2{A}^2$$对$a$求微分，又
$$\frac{d\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{e}(\check{A})}{da}=\frac{2a{\sigma }^2}{N}+2(a-1)A^2$$令其等于零，可以得到$a$的最优值为
$$a_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}=\frac{A^2}{A^2+{\sigma }^2/N}$$遗憾的是，从上面式子中可以看出，$a$的最优值取决于未知参数$A$，因此估计器是不可实现的。回想一下，之所以估计值与$A$有关，是因为(2.6)中，偏差项与真实值有关。因此看起来，只要是与偏差有关的准则，都会导致估计器不可实现。尽管通常来说确实如此，偶尔也能找到可实现的最小MSE估计器[Bibby and Touterburg 1977, Rao 1973, Stoica and Moses 1990]。
  从实际角度看，需要放弃最小MSE。另外一种方法是将偏差设为零，并找到最小化方差的估计，这种估计称为最小方差无偏估计(minimum variance unbiased, MUV)。从(2.6)可以看出，无偏差估计的MSE就是方差。
  最小化无偏估计的方差，也能够使得估计误差$\hat{\theta }-\theta$的PDF更加集中在零点（问题2.7），因而出现大的估计误差的概率将变小。

3、最小方差无偏估计的存在性

  下面我们要讨论的问题是，MUV是否存在，或者说对于所有$\theta$取值来说，是否都存在具有最小方差的无偏估计。图2.3中给出了两种可能情况。如果有三个无偏估计，其方差如图2.3a所示，显然${\hat{\theta }}_3$为MVU估计。然而，对于2.3b中情况，没有MUV估计。这是由于若$\theta \le {\theta }_0$，则${\hat{\theta }}_2$较好，而如果$$\theta >{\theta }_0$，则${\hat{\theta }}_3$更好。在第一种情况中，为了强调对于所有$\theta$的取值而言，方差都是最小的，有时将${\hat{\theta }}_3$称为一致最小方差无偏估计。下面的例子将说明，通常来说，并非总存在MUV。

Example 2.3 不存在MUV估计的例子
如果PDF的形式随着$\theta$而改变，那么可以预计最佳估计也随之改变。假定我们有两个独立的观测$x[0]$和$x[1]$，其PDF为
$$\begin{array}{rl}x[0]& \sim \mathcal{N}(\theta ,1)\\ x[1]& \sim \{\begin{array}{r}\mathcal{N}(\theta ,1)\mathrm{i}\mathrm{f}\theta \ge 0\\ \mathcal{N}(\theta ,2)\mathrm{i}\mathrm{f}\theta <0\end{array}\end{array}$$ 显然
$$\begin{gathered} {\hat{\theta }}_1=\frac{1}{2}(x[0]+x[1]) \\ {\hat{\theta }}_1=\frac{2}{3}x[0]+\frac{1}{3}x[1]) \end{gathered}$$为无偏估计。为了计算方差，我们可以得到
$$\begin{array}{r}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}({\hat{\theta }}_1)=\frac{1}{4}\left\{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(x[0])+\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(x[1])\right\}\\ \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}({\hat{\theta }}_2)=\frac{4}{9}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(x[0])+\frac{1}{9}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(x[1])\end{array}$$因此有
$$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}({\hat{\theta }}_1)=\{\begin{array}{r}\frac{18}{36}\mathrm{i}\mathrm{f}\theta \ge 0\\ \frac{27}{36}\mathrm{i}\mathrm{f}\theta <0\end{array}$$以及
$$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}({\hat{\theta }}_2)=\{\begin{array}{r}\frac{20}{36}\mathrm{i}\mathrm{f}\theta \ge 0\\ \frac{24}{36}\mathrm{i}\mathrm{f}\theta <0\end{array}$$方差如图2.4所示。显然，在这两种估计中，不存在MVU估计。

4、寻找最小方差无偏估计

  即使存在MVU估计，我们也可能求不出来。没有一种“摇动曲柄”，总能求解出估计量的方法。在后面几章中，我们讨论几种可能的方法，包括：

• 确定Cramer-Rao下界（CRLB），并检视是否有某些估计能够满足（第3、4章）。
• 应用Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffe(RBLS)定理（第5章）。
• 进一步将估计器的类型限定为不仅是无偏的，而且是线性的。随后对于所限定的类型，找到最小方差估计（第6章）。
  方法1和2可能会得到MVU估计，而方法3只有估计量在数据中是线性时，才会得到MVU估计。
    根据CRLB，我们知道对于任何无偏估计，方差一定大于或等于某个给定的值，如Figure 2.5所示。如果对于所有的$\theta$值，存在方差等于CRLB的估计，则这个估计一定时MVU估计。这种情况下，根据CRLB理论可以立即得到估计。有可能不存在方差等于下界的估计，然而此时有可能仍然存在MVU估计，如Figure2.5中的${\hat{\theta }}_1$所示。因此，我们必须使用Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffe定理。这种方法首先找到一个有效使用所有数据的充分统计量，再找到作为$\theta$无偏估计的这个充分量的一个函数。稍微对数据的PDF做些限定，这个方法可以保证得到无偏估计。第三种方法要求估计是线性的，这个限定有的时候是个严格的约束，并且选择最好的线性估计。当然，只有对于特殊的数据集，这个方法能够得到MVU估计。

5、扩展到矢量参数

  如果$\mathbf{\theta }=[{\theta }_1{\theta }_2\dots {\theta }_p{]}^{\mathrm{T}}$为未知参数向量，如果对于$i=1,2,\dots ,p$，有
$$\mathrm{E}({\hat{\theta }}_i)={\theta }_i,a_i<{\theta }_i<b_i\text{\hspace{1em}(2.7)}$$我们称估计$\hat{\mathbf{\theta }}=[{\hat{\theta }}_1{\hat{\theta }}_2\dots {\hat{\theta }}_p{]}^{\mathrm{T}}$为无偏的。通过定义
$$\mathrm{E}(\hat{\mathbf{\theta }})=\left[\begin{array}{rl}\mathrm{E}& ({\hat{\theta }}_1)\\ \mathrm{E}& ({\hat{\theta }}_2)\\ & ⋮\\ \mathrm{E}& ({\hat{\theta }}_p)\end{array}\right]$$我们可以等效地定义具有如下性质的无偏估计
$$\mathrm{E}(\hat{\mathbf{\theta }})=\mathbf{\theta }$$MVU估计具有附加性质，即$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}({\hat{\theta }}_i)$在所有无偏估计中是最小的，这里$i=1,2,\dots ,p$。