【学习总结】数学-cayley定理

定义:

有n个标志节点的树的数目等于nn2(仅是cayley在组合数学中的应用)


简单证明:

1.首先我们假设n为4,即有3个节点
2.这样的话我们就有k个子树,此时k=3

(图1)
3.选中其中一个节点 C(1n),然后x 再选中不含该节点的一个子树 C(1k1),让这颗子树的根连接到该节点上,这样的话子树就减少了一棵
【学习总结】数学-cayley定理_第1张图片 (图2)
【学习总结】数学-cayley定理_第2张图片 (图3)
等。。。

4.重复操作直到k=1,k从n变成1总共执行了n-1次,所以根据乘法原理,构造出的有确定根节点的树有ans=nn1(n1)!
5.但是对于一棵树来说,它又n-1条边,每条边被选中先后的顺序有(n1)!种,但是对于树来说,边的先后关系是无关紧要的,所以ans=ans(n1)!=nn1

【学习总结】数学-cayley定理_第3张图片 (图4)
【学习总结】数学-cayley定理_第4张图片 (图5)
6.对于每个树来说,构造树时有确定根节点,每一个树可以将该树中的n个节点均做为根节点,于是乎 ans=ansn=nn2
【学习总结】数学-cayley定理_第5张图片 (图6)
【学习总结】数学-cayley定理_第6张图片 (图7)
【学习总结】数学-cayley定理_第7张图片 (图8)

你可能感兴趣的:(学习总结-数学-定理)